h1. Rotatie lexicografic minima

(Categoria _Algoritmi_, autor _Mircea Pasoi_)

== include(page="template/implica-te/scrie-articole" user_id="m_dersidan") ==

Acest articol reprezinta un studiu de caz al unei probleme care poate fi considerata "clasica", fiind studiata inclusiv de cunoscutul profesor Edsger Wybe Dijkstra. Deoarece problema a apaput recent la diverse concursuri de informatica, prezinta interes pentru cei care se pregatesc pentru participarea la acestea.

(Categoria _Algoritmi_, Autor _Mircea Pasoi_)
 
Acest articol reprezinta un studiu de caz al unei probleme care poate fi considerata "clasica", fiind studiata inclusiv de cunoscutul profesor Edsger Wybe Dijkstra. Deoarece problema a aparut recent la diverse concursuri de informatica, prezinta interes pentru cei care se pregatesc pentru participarea la acestea.

h2. Enunt

h2. Solutia $O(N)$

Vom incerca acum sa obtinem un algoritm de complexitate liniara folosind alte idei de rezolvare. Algoritmul pe care il vom propune in continuare functioneaza ca si algoritmul trivial mentionat mai sus, anume parcurgand rotatiile succesiv. La fiecare pas se vor pastra trei variabile $min, p, l$ cu semnificatia ca rotatiile $R ~0~, R ~1~, ... R ~p-1~$ au fost parcurse pana acum, iar $R ~min~$ este o rotatie dintre acestea care ar putea fi cea lexicografic minima (toate celelalte din cele parcurse sigur nu pot fi solutia finala). De asemenea, variabila $l$ va semnifica ca primele $l$ caractere din $R ~min~$ sunt egale cu primele $l$ caractere din $R ~p~$, $R ~p~$ fiind urmatoarea rotatie ce va fi procesata. Cunoscand aceste informatii, la fiecare pas se va compara al $l+1-lea$ caracter din $R ~min~$ $(S[min+l])$ cu al $l+1-lea$ din $R ~p~ (S[p+l])$, iar in functie de rezultat se va lua o decizie:

Vom incerca acum sa obtinem un algoritm de complexitate liniara folosind alte idei de rezolvare. Algoritmul pe care il vom propune in continuare functioneaza ca si algoritmul trivial mentionat mai sus, anume parcurgand rotatiile succesiv. La fiecare pas se vor pastra trei variabile $min, p, l$ cu semnificatia ca rotatiile $R ~0~, R ~1~, ... R ~p-1~$ au fost parcurse pana acum, iar $R ~min~$ este o rotatie dintre acestea care ar putea fi cea lexicografic minima (toate celelalte din cele parcurse sigur nu pot fi solutia finala). De asemenea, variabila $l$ va semnifica ca primele $l$ caractere din $R ~min~$ sunt egale cu primele $l$ caractere din $R ~p~$, $R ~p~$ fiind urmatoarea rotatie ce va fi procesata. Cunoscand aceste informatii, la fiecare pas se va compara al $l+1-lea$ caracter din $R ~min~$ $(S[min+l])$ cu al $l+1-lea$ din $R ~p~ (S[(p+l) mod N])$, iar in functie de rezultat se va lua o decizie:

* $*S[min+l] = S[p+l]* ->$ se va incrementa variabila $l$ cu o unitate deoarece inca o pereche de caractere se potrivesc
* $*S[min+l] < S[p+l]* ->$ putem trage imediat concluzia ca $R ~min~ < R ~p~$ , iar mai mult, din faptul ca primele $l$ caractere se potrivesc putem spune ca $R ~min+i~ < R ~p+i~$ pentru $0 <= i <= l$; cum $R ~min~$ era rotatia "candidata" la solutia finala dintre $R ~0~, R ~1~, ... R ~p-1~$ si este mai mica ca $R ~p~$, iar pentru orice $R ~p+i~ (1 <= i <= l)$ exista $R ~min+i~ < R ~p+i~$, despre care se stie ca nu poate fi solutia finala, $R ~min~$ va repezenta in continuare rotatia candidata la solutie dintre $R ~0~, R ~1~, ... R ~p-1~, R ~p~, R ~p+1~, ... R ~p+l~$. Asadar $p$ va deveni $p+l+1$, iar $l$ va deveni $0$ (deoarece nu se cunosc inca informatii despre $R ~min~$ si $R ~p+l+1~$)
* $*S[min+l] > S[p+l]* ->$ asemanator cu cazul anterior putem concluziona ca $R ~min+i~ > R ~p+i~$ pentru $0 &le; i &le; l$; asadar putem face doua observatii:

* $*S[min+l] = S[(p+l) mod N]* ->$ se va incrementa variabila $l$ cu o unitate deoarece inca o pereche de caractere se potrivesc
* $*S[min+l] < S[(p+l) mod N]* ->$ putem trage imediat concluzia ca $R ~min~ < R ~p~$ , iar mai mult, din faptul ca primele $l$ caractere se potrivesc putem spune ca $R ~min+i~ < R ~p+i~$ pentru $0 <= i <= l$; cum $R ~min~$ era rotatia "candidata" la solutia finala dintre $R ~0~, R ~1~, ... R ~p-1~$ si este mai mica ca $R ~p~$, iar pentru orice $R ~p+i~ (1 <= i <= l)$ exista $R ~min+i~ < R ~p+i~$, despre care se stie ca nu poate fi solutia finala, $R ~min~$ va repezenta in continuare rotatia candidata la solutie dintre $R ~0~, R ~1~, ... R ~p-1~, R ~p~, R ~p+1~, ... R ~p+l~$. Asadar $p$ va deveni $p+l+1$, iar $l$ va deveni $0$ (deoarece nu se cunosc inca informatii despre $R ~min~$ si $R ~p+l+1~$)
* $*S[min+l] > S[(p+l) mod N]* ->$ asemanator cu cazul anterior putem concluziona ca $R ~min+i~ > R ~p+i~$ pentru $0 &le; i &le; l$; asadar putem face doua observatii:

$1) R ~min+i~ (0 <= i <= l)$ nu poate candida la solutie, si cum se stia dinainte ca nici $R ~0~, R ~1~, ... R ~min-1~$ nu pot, primul candidat posibil este $R ~min+l+1~$;
$2) Cum R ~min~$ era candidatul pana in prezent, iar $R ~p~ < R ~min~$, din $R ~0~, R ~1~, ... R ~p~$ singurul candidat posibil este $R ~p~$.
Variabila $min$ va deveni $max(min+l+1, p)$, $p$ va deveni $max(min+l+1, p)+1$, iar $l$ va fi egal cu $0$.

==code(c) |
min <- 0; p <- 1; l <- 1;
cat timp (p < N) AND (min+l+1 < N) executa

    daca S[min+l] = S[p+l] atunci l <- l+1;
    daca S[min+l] < S[p+l] atunci p <- p+l+1; l <- 0;
    daca S[min+l] > S[p+l] atunci min <- max(min+l+1, p); p <- min+1; l <- 0;

    daca S[min+l] = S[(p+l) mod N] atunci l <- l+1;
    daca S[min+l] < S[(p+l) mod N] atunci p <- p+l+1; l <- 0;
    daca S[min+l] > S[(p+l) mod N] atunci min <- max(min+l+1, p); p <- min+1; l <- 0;

sfarsit cat timp
scrie min
==

3696