(Categoria _Algoritmi_, Autor _Cosmin Negruşeri_)
(toc){width: 37em}*{text-align:center} *Conţinut:*

* 'Problema 1 (TC MagicBoxes)':probleme-de-acoperire-2#problema1
* 'Problema 2 (IOI 2001 Pavement)':probleme-de-acoperire-2#problema2

* 'Problema 1: MagicBoxes (TopCoder)':probleme-de-acoperire-2#problema1
* 'Problema 2: Pavement (IOI 2001)':probleme-de-acoperire-2#problema2

* 'Problema 3 (ACM ICPC 1997)':probleme-de-acoperire-2#problema3

* 'Problema 4 (SGU Hardwood Floor)':probleme-de-acoperire-2#problema4
* 'Problema 5 (TC CaseysArt)':probleme-de-acoperire-2#problema5
* 'Problema 6 (SGU Another chocolate maniac)':probleme-de-acoperire-2#problema6
* 'Problema 7 (CEOI 2002 Bugs)':probleme-de-acoperire-2#problema7

* 'Problema 4: Hardwood Floor (SGU)':probleme-de-acoperire-2#problema4
* 'Problema 5: CaseysArt (TopCoder)':probleme-de-acoperire-2#problema5
* 'Problema 6: Another chocolate maniac (SGU)':probleme-de-acoperire-2#problema6
* 'Problema 7: Bugs (CEOI 2002)':probleme-de-acoperire-2#problema7

* 'Problema 8 (Lot 2001, SGU Domino, IPSC 2004, Algoritmus 2005, IOI 2005)':probleme-de-acoperire-2#problema8
* 'Aplicaţii':probleme-de-acoperire-2#aplicatii
* 'Bibliografie':probleme-de-acoperire-2#bibliografie
Subiectul acestui articol sunt acoperirile in plan, cu o abordare bazată pe tehnici de programare. În "$...secţiunea precedentă$":probleme-de-acoperire-1 am studiat problemele de acoperire care nu necesită cunoştinţe avansate de algoritmi.

h2(#problema1). Problema 1 ('TC MagicBoxes':http://www.topcoder.com/stat?c=problem_statement&pm=932)

h2(#problema1). Problema 1: 'MagicBoxes':http://www.topcoder.com/stat?c=problem_statement&pm=932 (TopCoder)

bq. Să se determine numărul $N$ maxim astfel ca într-un dreptunghi de dimensiuni $L x W (1 ≤ L, W ≤ 30)$ să poată fi dispuse paralel cu axele de coordonate $N$ pătrate de laturi $1, 2, ..., N$ astfel ca oricare două pătrate să nu aibă porţiuni care se suprapun.

Această reprezentare pe biţi este foarte utilă în probleme de acest gen, şi cum avem întregi de $64$ de biţi pe care îi putem folosi, avem o metodă foarte simplă de reprezentare a tablelor de mărime până la $64$.

h2(#problema2). Problema 2 (IOI 2001 Pavement)

h2(#problema2). Problema 2: Pavement (IOI 2001)

bq. Se dă o matrice de dimensiuni $N x M (1 ≤ N ≤ 7 şi 1 ≤ M ≤ 100)$. Unele celule ale acestei matrici sunt distruse şi trebuie acoperite cu piese de forma din $Fig. 1$. Fiecare celulă rămasă neacoperită se consideră o greşeală, iar dacă o piesă cu care am acoperit celule distruse a trebuit să fie tăiată pentru a acoperi numai celule distruse, fiecare pătrăţel din partea nefolosită a piesei este considerată o greşeală. Se cere acoperirea tablei astfel ca numărul de greşeli să fie minimizat. În $Fig. 2$, pentru prima tablă, acoperirea optimă are două greşeli, aşa cum vedem în al doilea desen.

Dacă algoritmul pune trei dominouri pe liniile $4$ şi $5$ aşa cum vedem mai sus, atunci vom trece în starea $(5, 011000)$. La final, vom returna valoarea aflată în $numWays[N + 1][0]$. Complexitatea ca timp a acestei rezolvări este $O(M * 4^N^)$, iar ca spaţiu $O(2^N^)$.

h2(#problema4). Problema 4 ('SGU Hardwood Floor':http://acm.sgu.ru/problem.php?contest=0&problem=131)

h2(#problema4). Problema 4: 'Hardwood Floor':http://acm.sgu.ru/problem.php?contest=0&problem=131 (SGU)

bq. Determinaţi numărul de acoperiri ale unei table de dimensiuni $N x M (1≤ N ≤ 9, 1 ≤ M ≤ 9)$ cu piese de tipul:

În rezolvare putem folosi direct ideea de la problema anterioară.

h2(#problema5). Problema 5 ('TC CaseysArt':http://www.topcoder.com/stat?c=problem_statement&pm=1706)

h2(#problema5). Problema 5: 'CaseysArt':http://www.topcoder.com/stat?c=problem_statement&pm=1706 (TopCoder)

bq. Determinaţi numărul de moduri în care poate fi acoperit un dreptunghi de dimensiuni $N x M (N ≤ 18, M ≤ 15)$ cu piese de forma:

Dacă această rezolvare ar fi fost folosită în timpul concursului, ea ar fi ieşit din timp. Pentru optimizare putem face mai multe îmbunătăţiri. Un exemplu ar fi să generăm direct cele două configuraţii de biţi în procedura $backtracking$ şi să nu mai folosim şirul $sol$. O altă idee care ar fi dus la rezolvarea problemei în timpul concursului ar fi fost calcularea tuturor rezultatelor posibile şi trimiterea unei soluţii care returna aceste rezultate precalculate. Această abordare ar fi fost posibilă pentru că numărul de configuraţii iniţiale este mic.

h2(#problema6). Problema 6 ('SGU Another chocolate maniac':http://acm.sgu.ru/problem.php?contest=0&problem=132)

h2(#problema6). Problema 6: 'Another chocolate maniac':http://acm.sgu.ru/problem.php?contest=0&problem=132 (SGU)

bq. Se dă o tablă de dimensiuni $M x N (1 ≤ M ≤ 70, 1 ≤ N ≤ 7)$ cu unele pătrate lipsă. Se cere numărul minim de dominouri ce pot fi plasate pe tablă fară să se suprapună între ele sau să acopere vreun pătrat ce nu aparţine tablei, astfel ca nici o altă piesă de domino să nu se poată adăuga la configuraţie fără ca aceasta să se suprapună peste una veche. Pentru tabla următoare vedem uşor în a doua figură că soluţia optimă va conţine 4 dominouri.

La fiecare pas, procedura $backtracking$ alege dacă să pună un domino orizontal, unul vertical sau să treacă mai departe, deci o limită superioară ar fi $O(3^M^)$ operaţii (nu toate configuraţiile vor fi posibile). În tablou avem $N x 3^M^$ stări, deci complexitatea algoritmului este $O(N * 9^M^)$. Menţionăm din nou că aceasta este o limită superioară şi că algoritmul se va comporta mult mai bine în practică.

h2(#problema7). Problema 7 ('CEOI 2002 Bugs':http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1038)

h2(#problema7). Problema 7: 'Bugs':http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1038 (CEOI 2002)

bq. Să se acopere o tablă de dimensiuni $M x N (1 ≤ M ≤ 10, 1 ≤ N ≤ 150)$ cu un număr maxim de piese de dimensiuni $3 x 2$ şi $2 x 3$. Tabla are unele celule ce trebuie să nu fie acoperite, iar oricare două piese nu se pot suprapune. Pentru tabla de mai jos, numărul maxim de piese cu care se poate acoperi este $3$.