p=. !probleme-de-acoperire2?P231.jpg!

* Dacă procedura aşezăm trei dominouri pe linia $4$ şi linia $5$ aşa cum vedem mai sus, atunci vom trece în starea $(5, 011000)$. La final, vom returna valoarea aflată în $numWays[N + 1][0]$ <tex> !! </tex>. Complexitatea ca timp a acestei rezolvări este $O(M * 4^N^)$, iar ca spaţiu este $O(2^N^)$.

* Dacă procedura aşezăm trei dominouri pe linia $4$ şi linia $5$ aşa cum vedem mai sus, atunci vom trece în starea $(5, 011000)$. La final, vom returna valoarea aflată în $numWays[N + 1][0]$. Complexitatea ca timp a acestei rezolvări este $O(M * 4^N^)$, iar ca spaţiu este $O(2^N^)$.

h2. Problema 4 (Hardwood Floor, acm.sgu.ru)

* În $num[i][config]$ ţinem minte câte posibilităţi sunt să acoperim $i - 1$ linii cu piesele date în problemă, iar linia $i$ să fie ocupată aşa cum arată reprezentarea în baza $2$ a numărului întreg $config$. Se observă folosirea variabilei $step$ care de la un pas la altul se transformă astfel $step ^= 1$, aceast mic truc ne face să putem folosi o matrice de doar $2$ linii în loc să folosim $N$ linii. La momentul $i$, în $num[step][config]$ avem informaţia ce ar fi fost în mod normal în $num[i][config]$, iar în $num[1 ^ step][config1]$ vom calcula ce ar fi fost normal în $num[i + 1][config1]$. În şirul $p$ ţinem minte forma pieselor din problemă.
* În procedura $doit$ punem pe două linii consecutive piese în toate modurile posibile. Această procedură face ca pe prima linie să avem o configuraţie de pătrăţele libere $config$ şi o configuraţie de pătrăţele ocupate pe a doua linie $config1$. Dacă pătrăţelele reprezentate de $config$ nu au fost ocupate la pasul curent ele trebuie să fi fost ocupate la pasul anterior. Astfel, pentru fiecare pereche de configuraţii $config$ şi $config1$ trebuie să efectuăm operaţia $num[i + 1][config1] += num[i][config]$.
* Dacă această rezolvare ar fi fost folosită în timpul concursului ea ar fi ieşit din timp. Pentru optimizarea ei putem face mai multe optimizări. Un exemplu ar fi să generăm direct cele două configuraţii de biţi în procedura $backtraking$ şi să nu mai folosim şirul $sol$. O altă idee care ar fi dus la rezolvarea problemei ar fi fost calcularea tuturor rezultatelor posibile în timpul concursului şi trimiterea unei soluţii care returna aceste rezultate precalculate. Această abordare ar fi fost posibilă pentru că numărul de configuraţii iniţiale este mic.

* Menţionăm că această problemă a apărut ca întrebare la miniconcursul online de pe forumul "GInfo":http://www.ginfo.ro.

* Menţionăm că această problemă a apărut ca întrebare la miniconcursul online de pe forumul "GInfo":http://www.ginfo.ro.
 
h2. Problema 6 (Another chocolate maniac, acm.sgu.ru)
 
bq. Se dă o tablă de dimensiuni $M x N (1 <= M <= 70, 1 <= N <= 7)$ cu unele pătrate lipsă. Se cere numărul minim de dominouri ce pot fi plasate pe tablă fară să se sprapună între ele, sau să acopere vreun pătrat ce nu aparţine tablei, astfel ca nici o altă piesă de domino să nu se poată adăuga la configuraţie fără ca aceasta să se suprapună peste una veche. Pentru tabla următoare vedem uşor în a doua figură că soluţia optimă va conţine 4 dominouri.
 
p=. !probleme-de-acoperire2?P261.jpg!
 
h3. Soluţie:
 
* Din nou vom folosi $metoda programării dinamice$ îmbinată cu metoda $backtraking$.
* Vom umple tabla linie cu linie şi la fiecare pas putem pune dominouri orizontale pe linia curentă şi verticale pe linia curentă şi linia următoare. Trebuie să fim atenţi când trecem de la linia curentă la următoarea să nu lăsăm pe linia curentă loc liber unde poate fi amplasat un domino orizontal, pentru că acest loc nu va putea fi ocupat de piese amplasate mai târziu. Se poate lăsa spaţiu gol pe linia curentă şi linia următoare pentru că o celulă a acestei poziţii va putea fi acoperită la pasul următor. Vedem astfel că dacă linia curentă este linia $i$ atunci avem trei stări posibile pentru ultimele două pătrăţele de pe fiecare coloană: $00$ (celule neocupate),  $10$ (penultima celulă ocupată şi ultima goală) $11$ (ambele celule ocupate de dominouri), starea $01$ nu poate exista. În procedura $backtracking$ care generează configuraţiile la care putem ajunge de la o configuraţie dată trebuie să mai avem grijă să nu ocupăm cu un domino o celulă ce nu aparţine tablei. Astfel, pentru a găsi soluţia problemei vom folosi un tablou $min[i][config]$ care va păstra numărul minim de dominouri care trebuie amplasate pe tablă astfel ca pe liniile $1 .. i – 1$ să nu poată fi amplasat vreun domino pe celulele rămase goale, $config$ va fi un număr întreg care atunci cănd e transformat în baza $3$ arată configuraţia liniilor $i – 1$ şi $i$.
* La fiecare pas, procedura $backtracking$ alege dacă să pună un domino orizontal, unul vertical sau să treacă mai departe, deci o limită superioară ar fi $O(3^M^)$ operaţii (nu toate configuraţiile vor fi posibile). În tablou avem $N x 3^M^$ stări, deci complexitatea algoritmului este $O(N * 9^M^)$. Menţionăm din nou că aceasta este o limită superioară şi că algoritmul se va comporta mult mai bine în practică.