Probleme cu puncte laticiale

Acest articol a fost adăugat de Diculescu Elena Alexandra •portocala Intră aici dacă doreşti să scrii articole sau află cum te poţi implica în celelalte proiecte infoarena!

(Categoria Matematică, Autor Cosmin Negruşeri)

• Conţinut
• Introducere
• Problema 1
• Problema 2
• Problema 3: Copaci
• Problema 4
• Problema 5: Counting triangles
• Problema 6: Dreptunghiuri
• Problema 7: Paralelograme
• Concluzii
• Bibliografie

Introducere

Articolul de faţă se va concentra pe probleme în care vor apărea puncte de coordonate întregi care sunt numite puncte laticiale. Sursele [1] şi [2] menţionate în bibliografie conţin câte un capitol despre puncte laticiale care, deşi sunt mai riguros tratate decât în acest articol, pot fi interesante pentru un elev în pregătirea pentru olimpiadă. Să vedem acum câteva probleme ce au apărut pe la concursurile de programare.

Problema 1

Să se determine numărul de puncte de coordonate întregi prin care trece segmentul determinat de punctele (0, 0) şi (N, M). De exemplu, pentru N = 9 şi M = 12 pe segment vor fi 4 puncte de coordonate întregi.

Rezolvare

Putem considera doar cazurile în care 0 ≤ N ≤ M. Dacă N = 0 atunci, evident, avem M + 1 puncte pe segment. Astfel, trebuie să rezolvăm doar cazul în care 1 ≤ N ≤ M.
Evident că orice punct (x, y), pentru a fi pe segmentul nostru, trebuie să satisfacă ecuaţia y = (M / N) * x. Această ecuaţie are ca soluţie un număr natural doar dacă M * x se divide cu N. De aici, dacă D = cmmdc(M, N) atunci x se divide cu N / D. Obţinem, astfel, x de forma k * (N / D), de unde rezultă că y este de forma y = k * (M / D). Pentru ca punctul (x, y) să aparţină segmentului, trebuie ca 0 ≤ x ≤ N şi 0 ≤ y ≤ M, şi, înlocuind în a doua inegalitate pe y avem 0 ≤ k ≤ D. În concluzie, numărul de puncte de pe un segment de la (0, 0) la (N, M) este egal cu cel mai mare divizor comun al numerelor M şi N la care adăugăm 1. Putem determina acest număr în complexitate O(log (N + M)).

Problema 2

Se dă un triunghi cu vârfurile în puncte laticiale. Se cere să se determine numărul de puncte de coordonate întregi ce se află în interiorul triunghiului sau pe laturile lui. De exemplu, un triunghi cu vârfurile de coordonate (1, 5), (5, 1) şi (6, 6) are 16 puncte în interior.

Rezolvare

Pentru un dreptunghi cu laturile paralele cu axele de coordonate de lungime M şi lăţime N avem că numărul de puncte situate strict în interiorul dreptunghiului este *(N - 1), iar numărul de puncte situate pe laturile poligonului este 2M + 2N. Dacă notăm cu B numărul de puncte de pe laturi, cu I numărul de puncte situate strict în interiorul unui dreptunghi şi cu A aria dreptunghiului, observăm că I + B/2 - 1 = (M - 1) * (N - 1) + M + N - 1 = M * N = A.
În cazul triunghiurilor dreptunghice ce au două catete vom vedea că această formulă se păstrează. Evident avem că A = (M * N)/2. Pe ipotenuza triunghiului vom avea D puncte (D = cmmdc(M, N) + 1, dar aceasta nu ne interesează pe moment). Rezultă că numărul de puncte de pe laturile triunghiului este B = M + N + D - 1. Numărul de puncte I din interiorul triunghiului este numărul de puncte din interiorul dreptunghiului (M - 1) * (N - 1) din care se scad punctele interioare de pe diagonala D - 2, rezultatul împărţindu-se apoi la 2. De aici avem I = ((M - 1) * (N - 1) - D + 2) / 2.

Verificăm formula I + B/2 - 1 = (M - 1) * (N - 1)/2 - D/2 + 1 + M/2 + N/2 + D/2 + 1/2 = (M * N)/2. Deci formula se verifică şi pe astfel de triunghiuri.

Acum ne uităm la cel mai mic dreptunghi ce conţine un triunghi oarecare. Acest dreptunghi poate fi împărţit în patru triunghiuri din care unul este cel iniţial, iar celelalte sunt trei triunghiuri dreptunghice pentru care catetele merg de-a lungul liniilor laticiale. Vom vedea că formula noastră se verifică şi pentru triunghiuri oarecare. Notăm cu I_d numărul de puncte interioare dreptunghiului, A_d aria dreptunghiului şi B_d numărul de puncte de pe laturile dreptunghiului, cu I₁, I₂, I₃ numărul de puncte din interiorul celor trei triunghiuri dreptunghice, B₁, B₂, B₃ numărul de puncte de pe laturile celor trei triunghiuri, iar A₁, A₂ şi A₃ ariile celor trei triunghiuri. Avem că I = I_d - I₁ - I₂ - I₃ - B + 3 (trebuie să eliminăm punctele de pe laturile triunghiului interior şi să avem grijă de vârfurile acestui triunghi), B = B₁ + B₂ + B₃ - B_d iar A = A_d - A₁ - A₂ - A₃. De aici avem că I + B/2 - 1 = I_d - I₁ - I₂ - I₃ - B₁/2 - B₂/2 - B₃/2 + B_d/2 - 1 + 3 = (I_d + B_d/2 - 1) - (I₁ + B₁/2 - 1) - (I₁ + B₁/2 - 1) - (I₁ + B₁/2 - 1) = A_d - A₁ - A₂ - A₃ = A, deci egalitarea este valabilă şi pentru triunghiuri oarecare.

Acum aria triunghiului cu vârfurile (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) o putem afla uşor folosind formula lui Heron sau folosind determinantul:

Numărul de puncte de pe laturile triunghiului poate fi determinat uşor folosind formula demonstrată în problema anterioară. Acum, folosind formula I + B/2 - 1 = A putem afla numărul I şi problema e rezolvată prin întoarcerea numărului I + B. Complexitatea rezolvării este O(log N) unde N este valoarea maximă a coordonatelor.

Problema 3: Copaci (infoarena)

Se dă un poligon prin vârfurile sale aflate doar la coordonate numere naturale. Poligonul nu este neapărat convex. Se cere să se găsească numărul punctelor aflate strict în interiorul poligonului la coordonate numere întregi.
De exemplu, pentru poligonul dat prin vârfurile (0, 4), (0, 5), (2, 7), (2, 4), (6, 6) şi (4, 0) avem 12 astfel de puncte.

Rezolvare

Formula I + B/2 - 1 = A prezentată mai sus se numeşte Teorema lui Pick, iar ea este valabilă şi pentru poligoane oarecare. Acest fapt este adevărat pentru că orice poligon are o diagonală interioară care îl împarte în două poligoane distincte. Dacă notăm I₁ şi I₂ punctele interioare celor două poligoane, B₁ şi B₂ punctele de pe laturile celor două poligoane, A₁ şi A₂ ariile celor două poligoane şi D numărul de puncte de coordonate întregi de pe diagonală, atunci, dacă egalitatea ar fi fost satisfăcută pentru cele două poligoane, am avea că B₁ + B₂ = B + 2D - 2, I = I₁ + I₂ + D - 2. De aici avem A = A₁ + A₂ = I₁ + B₁/2 - 1 + I₂ + B₂/2 - 1 = I₁ + I₂ + B/2 + D - 1 - 2 = I + B/2 - 1. Astfel putem demonstra prin inducţie că relaţia este satisfăcută pentru orice poligon.

Aria unui poligon poate fi calculată uşor folosind următoarea formulă:
, unde punctul de indice n + 1 este primul punct. Astfel, obţinem un algoritm de complexitate O(N log (Max_X + Max_Y)).

Problema 4 (Marele Premiu Paco, 2000)

Se dă o grilă de puncte laticiale de dimensiuni N × N. Se cere să se determine numărul de pătrate care se pot forma astfel încât vârfurile lor să aparţină punctelor din grilă. De exemplu, pe o grilă de dimensiuni 3 × 3 există 6 pătrate.

Rezolvare:

Un pătrat cu L puncte pe o latură, cu laturile paralele cu axele de coordonate, poate fi translatat în (N - L + 1)*(N - L + 1) poziţii diferite pe grilă.

Considerăm pentru un pătrat din mulţimea soluţiilor, dreptunghiul minim cu laturile paralele cu axele de coordonate ce conţine acest pătrat. Este uşor să vedem că acest dreptunghi este de fapt un pătrat. Într-un pătrat ce are L puncte pe latură, înscrie L - 2 pătrate care nu au laturile paralele cu axele de coordonate.

Astfel, vedem că numărul total de pătrate pe o grilă N * M este, succesiv:

Am folosit formulele cunoscute din manualul de clasa a 10-a:

Această soluţie are complexitatea O(1), fiind o simplă formulă.

Problema 5: Counting triangles (ACM ICPC Asia, Dhaka 2005/2006)

Triunghiurile sunt poligoane cu trei laturi şi cu aria strict pozitivă. Triunghiurile laticiale sunt triunghiuri ce au vârfurile de coordonate întregi. În această problemă va trebui să găsiţi numărul de triunghiuri laticiale ce se pot găsi pe o grilă de dimensiuni M * N (1 ≤ M, N ≤ 1000). De exemplu, pe o grilă de dimensiuni 1 * 2 găsim 18 triunghiuri laticiale distincte după cum vedem în figură:

Rezolvare

Prima idee de rezolvare ar fi de a lua toate combinaţiile de trei puncte distincte dintre cele N * M puncte şi apoi de a elimina oricare trei puncte coliniare, dar partea a doua pare greu de realizat în mod eficient. Vom număra, asemănător rezolvării de mai sus, numărul de triunghiuri înscrise într-un dreptunghi paralel cu axele de coordonate. Ulterior, acel dreptunghi îl vom putea translata pe grila de puncte laticiale şi astfel vom putea număra toate triunghiurile posibile.

Oricum ar fi un triunghi situat într-un dreptunghi ce este minimal, cel puţin un vârf al triunghiului trebuie să fie un vârf al dreptunghiului. Se disting astfel două cazuri: primul în care un vârf al triunghiului este şi vârf al dreptunghiului şi celelalte două puncte sunt situate pe cele două laturi ale dreptunghiului ce nu au ca şi capăt primul punct, iar al doilea caz în care cel puţin două vârfuri sunt vârfuri ale dreptunghiului opuse pe diagonală. Dacă dreptunghiul are H puncte pe verticală şi W puncte pe orizontală, atunci în primul caz vom avea 4 * ((H - 1)(W - 1) + H - 1 + W - 1) triunghiuri, iar în al doilea caz vom avea 2 * (H * W - X) unde X e numărul de puncte de coordonate întregi de pe diagonala dreptunghiului. Cum trebuie să numărăm triunghiurile înscrise în fiecare dreptughi pentru care 1 ≤ H ≤ N şi 1 ≤ W ≤ M, obţinem un algoritm de complexitate O(N*M log N), unde log N apare la calcularea lui X.

Problema 6: Dreptunghiuri (preOni, 2006, runda 1)

Se dă o grilă de puncte laticiale de dimensiuni N * M (0 < N, M ≤ 400). Să se determine numărul dreptunghiurilor cu vârfurile în punctele laticiale. De exemplu, pentru o grilă de 3 * 3 puncte găsim 10 dreptunghiuri.

Rezolvare

Un dreptunghi care apare în grila de puncte laticiale e mărginit de două drepte verticale la stânga şi la dreapta, şi de două drepte orizontale în sus şi în jos. Acum, dacă vrem pentru patru drepte fixate să ştim câte dreptunghiuri mărginesc ele, ne putem uita la următorul desen.

Dacă dreptunghiul determinat de cele patru drepte are laturile H şi W, atunci un dreptunghi înscris va împărţi laturile lui în bucăţile A, B şi C, D. Acum, folosind teorema lui Pitagora avem că:

• A² + D² = Galben²
• B² + C² = Verde²
• Galben² + Verde² = Roz²
• (A + B)² = Roşu²
• (C - D)² = Albastru²
• Roşu² + Albastru² = Roz²

De aici avem că (A + B)² + (C - D)² = A² + B² + C² + D². Astfel, obţinem AB = CD, dar B = H - A, iar D = W - C, deci, avem că C² - WC + A(H - A) = 0. Dacă îl fixăm pe A atunci trebuie sa rezolvăm o ecuaţie de gradul doi în necunoscută C, iar soluţia trebuie să fie întreagă între 0 şi W.

Astfel, în O(H) vom şti numărul de dreptunghiuri înscrise într-un dreptunghi de dimensiuni H * W. Acest dreptunghi poate fi pus în (N - H + 1) * (M - W + 1) locaţii pe o grilă de dimensiune N * M. Deci, soluţia are complexitate O(N*M²), pentru fiecare dreptunghi de dimensiuni 1 ≤ H ≤ N şi 1 ≤ W ≤ M calculându-se numărul de dreptunghiuri înscrise.

O rezolvare de complexitate O(N²*M²) în care se căutau soluţiile ecuaţiei printr-un for ar fi luat 60 de puncte. Rezolvarea directa folosind ecuaţia de gradul doi ia în jur de 80 de puncte. Algoritmul poate fi optimizat la factorii constanţi. De exemplu, avem nevoie de funcţia radical care este înceată, pe care, precalculând-o, obţinem o accelerare a vitezei. Altă idee este că numarul de soluţii cu A ≤ H/2 este egal cu numărul de soluţii cu A ≥ H - H/2, iar a treia idee de optimizare este că numarul de dreptunghiuri înscrise într-un dreptunghi de dimensiuni H, W este acelaşi cu numărul de dreptunghiuri înscrise într-un dreptunghi de dimensiuni W, H.

Problema 7: Paralelograme (Bursele Agora, 2005/2006, runda 1)

Se dă o grilă laticială cu N linii şi M coloane, unde 0 < N, M ≤ 2000. Să cere determinarea numărului paralelogramelor cu vârfurile aflate la coordonate numere întregi. De exemplu, pentru N = 2 şi M = 2 putem construi 22 de paralelograme.

Rezolvare

Ca să determinăm numărul de paralelograme ce se pot găsi pe o grilă laticială, proprietatea că diagonalele unui paralelogram se înjumătăţesc pare să ne ajute în obţinerea unui algoritm de complexitate O(N + M). Însă, autorul nu a reuşit să numere într-un mod eficient câte paralelograme sunt degenerate (cu cele patru vârfuri coliniare) pentru a putea să le eliminăm din numărul total.

Din nou, putem folosi ideea celui mai mic dreptunghi cu laturile paralele cu axele de coordonate pentru a număra repede o clasă mare de paralelograme de aceiaşi formă. Avem două cazuri posibile:

Primul în care cele patru puncte sunt pe laturile dreptunghiului iar nici un vârf nu coincide cu vârfurile dreptunghiului, şi al doilea în care există două puncte în vârfuri opuse ale dreptunghiului. În primul caz, dacă avem poziţiile a două vârfuri fixate pe două laturi consecutive ale dreptunghiului, atunci poziţiile celorlalte două vârfuri sunt unic determinate. De aici obţinem că în primul caz avem (h - 2) * (w - 2) paralelograme. În al doilea caz, dacă fixăm două vârfuri ale paralelogramului în colţurile dreptunghiului, celelalte două vârfuri vor fi simetrice faţă de centrul de greutate al dreptunghiului. Cum nu trebuie să luăm în calcul posibilitatea ca vârfurile să fie pe diagonala dreptunghiului, obţinem h * w - cmmdc(h - 1, w - 1) - 2 posibilităţi.

Astfel, am ajuns la următorul algoritm:

long num = 0;
for (long h = 2; h <= N + 1; h++) {
    for (long w = 2; w <= M + 1; w++) {
        laux = (h - 2) * (w - 2) + h * w - cmmdc(h - 1, w - 1) - 2;
        num += (N - h + 1) * (M - w + 1) * laux;
    }
}

Acest algoritm are complexitatea O(N*M log N) şi nu s-ar fi încadrat în timpul impus, deoarece marea parte a calculelor este efectuată în determinarea celui mai mare divizor comun a două numere. Având în vedere că numerele folosite sunt între 1 şi N respectiv între 1 şi M, putem să precalculăm o matrice CMMDC[X][Y], 1 ≤ X ≤ N şi 1 ≤ Y ≤ M, în O(N * M). Astfel, complexitatea soluţiei a fost redusă la O(N * M). Mai putem optimiza factorii constanţi ai soluţiei observând că într-un triunghi de dimensiuni H * W poate fi înscris acelaşi număr de dreptunghiuri ca şi într-un triunghi W * H. Acest artificiu aproape dublează viteza algoritmului. Menţionăm că aceleaşi optimizări pot fi făcute şi la problema cu triunghiuri.

Concluzii

Cititorul poate să încerce aplicarea tehnicilor din articol la alte probleme similare precum determinarea numărului de patrulatere convexe nedegenerate cu vârfurile puncte laticiale, sau numărului de romburi sau trapeze.

Bibliografie

1. Buşneag, Maftei, „Teme pentru cercurile şi concursurile de matematică ale elevilor”, Scrisul Românesc, Craiova, 1983
2. Iaglom, Iaglom, „Probleme neelementare tratate elementar”, Editura Tehnică, Bucureşti, 1962
3. WolframMathWorld
4. FAQs
5. Geometry Algorithms