h2(#problema1). Problema 1

bq. Să se determine numărul de puncte de coordonate întregi prin care trece segmentul determinat de punctele $(0, 0)$ şi $(M, N)$. De exemplu, pentru $M = 9$ şi $N = 12$ pe segment vor fi $4$ puncte de coordonate întregi.

bq. Să se determine numărul de puncte de coordonate întregi prin care trece segmentul determinat de punctele $(0, 0)$ şi $(M, N)$. De exemplu, pentru $M=9$ şi $N=12$ pe segment vor fi $4$ puncte de coordonate întregi.

h3. Rezolvare

Putem considera doar cazurile în care $0 ≤ N ≤ M$, dacă $N = 0$ atunci evident avem $M + 1$ puncte pe segment. Astfel trebuie să rezolvăm doar cazul în care $1 ≤ N ≤ M$.
Evident că orice punct $(x, y)$, pentru a fi pe segmentul nostru, trebuie să satisfacă ecuaţia $y = M / N * x$. Această ecuaţie are ca soluţie un număr natural doar dacă $M * x$ se divide cu $N$, de aici dacă $D = cmmdc(N, M)$ atunci $x$ se divide cu $N / D$, deci $x$ de forma $k * N / D => y = k * M / D$. Pentru ca punctul $(x, y)$ să aparţină segmentului, trebuie ca $0 ≤ x ≤ N$ şi $0 ≤ y ≤ M$ astfel $0 ≤ k ≤ D$. Deci numărul de puncte de pe un segment de la $(0, 0)$ la $(N, M)$ este egal cu cel mai mare divizor comun al numerelor $M$ şi $N$ la care adăugăm $1$. Putem determina acest număr în complexitate $O(log (N + M))$.

Putem considera doar cazurile în care $0 ≤ N ≤ M$, dacă $N = 0$ atunci evident avem $M+1$ puncte pe segment. Astfel trebuie să rezolvăm doar cazul în care $1 ≤ N ≤ M$.
Evident că orice punct $(x, y)$, pentru a fi pe segmentul nostru, trebuie să satisfacă ecuaţia $y=M/N*x$. Această ecuaţie are ca soluţie un număr natural doar dacă $M*x$ se divide cu $N$, de aici dacă $D=cmmdc(N, M)$ atunci $x$ se divide cu $N/D$, deci $x$ de forma $k*N/D => y=k*M/D$. Pentru ca punctul $(x, y)$ să aparţină segmentului, trebuie ca $0 ≤ x ≤ N$ şi $0 ≤ y ≤ M$ astfel $0 ≤ k ≤ D$. Deci numărul de puncte de pe un segment de la $(0, 0)$ la $(N, M)$ este egal cu cel mai mare divizor comun al numerelor $M$ şi $N$ la care adăugăm $1$. Putem determina acest număr în complexitate $O(log (N + M))$.

h2(#problema2). Problema 2

h3. Rezolvare

Pentru un dreptunghi cu laturile paralele cu axele de coordonate de lungime $M$ şi lăţime $N$ avem că  numărul de puncte situate strict în interiorul dreptunghiului este $(M – 1) × (N – 1)$, iar numărul de puncte situate pe laturile poligonului este $2 * M + 2 * N$. Dacă notăm cu $B$ numărul de puncte de pe laturi, cu $I$ numărul de puncte situate strict în interiorul unui dreptunghi şi cu $A$ aria dreptunghiului, observăm că
$I + B/2 – 1 = (M – 1) × (N – 1) + M + N – 1 = M × N = A$.
În cazul triunghiurilor dreptunghice ce au două catete vom vedea că această formulă se păstrează. Evident avem că $A = (M × N) / 2$. Pe ipotenuza triunghiului vom avea $D$ puncte $(D = cmmdc(M, N) + 1$, dar aceasta nu ne interesează pe moment), deci numărul de puncte de pe laturile triunghiului este $B = M + N + D – 1$.Numărul de puncte $I$ din interiorul triunghiului este numărul de puncte din interiorul dreptunghiului $(M - 1) × (N - 1)$ din care se scad punctele interioare de pe diagonala $D – 2$, rezultatul împărţindu-se apoi la $2$, de aici avem
$I = ((M - 1) × (N - 1) – D + 2) / 2$.
Verificăm formula:
$I + B/2 – 1 = (M - 1) × (N - 1) / 2 – D/2 + 1 + M/2 + N/2 + D/2 + 1/2 = (M × N) / 2$.

Pentru un dreptunghi cu laturile paralele cu axele de coordonate de lungime $M$ şi lăţime $N$ avem că  numărul de puncte situate strict în interiorul dreptunghiului este $(M–1)×(N–1)$, iar numărul de puncte situate pe laturile poligonului este $2M + 2N$. Dacă notăm cu $B$ numărul de puncte de pe laturi, cu $I$ numărul de puncte situate strict în interiorul unui dreptunghi şi cu $A$ aria dreptunghiului, observăm că $I+B/2–1 = (M–1)×(N–1)+M+N–1 = M×N = A$.
În cazul triunghiurilor dreptunghice ce au două catete vom vedea că această formulă se păstrează. Evident avem că $A = (M×N)/2$. Pe ipotenuza triunghiului vom avea $D$ puncte $(D = cmmdc(M, N)+1$, dar aceasta nu ne interesează pe moment), deci numărul de puncte de pe laturile triunghiului este $B = M+N+D–1$. Numărul de puncte $I$ din interiorul triunghiului este numărul de puncte din interiorul dreptunghiului $(M-1)×(N-1)$ din care se scad punctele interioare de pe diagonala $D–2$, rezultatul împărţindu-se apoi la $2$, de aici avem $I = ((M-1)×(N-1)–D+2)/2$.
Verificăm formula $I+B/2–1 = (M-1)×(N-1)/2–D/2+1+M/2+N/2+D/2+1/2 = (M×N)/2$.

Deci formula se verifică şi pe astfel de triunghiuri.

Acum ne uităm la cel mai mic dreptunghi ce conţine un triunghi oarecare, acest dreptunghi poate fi împărţit în patru triunghiuri din care unul este cel iniţial, iar celelalte sunt trei triunghiuri dreptunghice pentru care catetele merg de-a lungul liniilor laticiale. Vom vedea că formula noastră se verifică şi pentru triunghiuri oarecare. Notăm cu $I{~d~}$ numărul de puncte înterioare dreptunghiului, $A{~d~}$ aria dreptunghiului şi $B{~d~}$ numărul de puncte de pe laturile dreptunghiului, cu $I{~1~}$, $I{~2~}$, $I{~3~}$ numărul de puncte din interiorul celor trei triunghiuri dreptunghice, $B{~1~}$, $B{~2~}$, $B{~3~}$ numărul de puncte de pe laturile celor trei triunghiuri, iar $A{~1~}$, $A{~2~}$ şi $A{~3~}$ ariile celor trei triunghiuri. Avem că $I = I{~d~} – I{~1~} – I{~2~} – I{~3~} – B + 3$ (trebuie să eliminăm punctele de pe laturile triunghiului interior şi să avem grijă de vârfurile acestui triunghi), $B = B{~1~} + B{~2~} + B{~3~} – B{~d~}$ iar $A = A{~d~} – A{~1~} – A{~2~} – A{~3~}$. De aici avem că $I + B/2 – 1 = I{~d~} – I{~1~} – I{~2~} – I{~3~} - B{~1~}/2 - B{~2~}/2 - B{~3~}/2 + B{~d~}/2 – 1 + 3 = (I{~d~} + B{~d~}/2 – 1) – (I{~1~} + B{~1~}/2 – 1) - (I{~1~} + B{~1~}/2 – 1) - (I{~1~} + B{~1~}/2 – 1)  = A{~d~} – A{~1~} – A{~2~} – A{~3~} = A$, deci egalitarea este valabilă şi pentru triunghiuri oarecare.

Acum ne uităm la cel mai mic dreptunghi ce conţine un triunghi oarecare, acest dreptunghi poate fi împărţit în patru triunghiuri din care unul este cel iniţial, iar celelalte sunt trei triunghiuri dreptunghice pentru care catetele merg de-a lungul liniilor laticiale. Vom vedea că formula noastră se verifică şi pentru triunghiuri oarecare. Notăm cu $I{~d~}$ numărul de puncte înterioare dreptunghiului, $A{~d~}$ aria dreptunghiului şi $B{~d~}$ numărul de puncte de pe laturile dreptunghiului, cu $I{~1~}$, $I{~2~}$, $I{~3~}$ numărul de puncte din interiorul celor trei triunghiuri dreptunghice, $B{~1~}$, $B{~2~}$, $B{~3~}$ numărul de puncte de pe laturile celor trei triunghiuri, iar $A{~1~}$, $A{~2~}$ şi $A{~3~}$ ariile celor trei triunghiuri. Avem că $I = I{~d~}–I{~1~}–I{~2~}–I{~3~}–B+3$ (trebuie să eliminăm punctele de pe laturile triunghiului interior şi să avem grijă de vârfurile acestui triunghi), $B = B{~1~}+B{~2~}+B{~3~}–B{~d~}$ iar $A = A{~d~}–A{~1~}–A{~2~}–A{~3~}$. De aici avem că $I+B/2–1 = I{~d~}–I{~1~}–I{~2~}–I{~3~} - B{~1~}/2-B{~2~}/2-B{~3~}/2+B{~d~}/2–1+3 = (I{~d~}+B{~d~}/2–1)–(I{~1~}+B{~1~}/2–1) - (I{~1~}+B{~1~}/2–1)-(I{~1~}+B{~1~}/2–1) = A{~d~}–A{~1~}–A{~2~}–A{~3~} = A$, deci egalitarea este valabilă şi pentru triunghiuri oarecare.

---------------------------------------------
Acum aria triunghiului cu vârfurile $(x1, y1)$, $(x2, y2)$, $(x3, y3)$ o putem afla uşor folosind formula lui Heron sau folosind
<tex> \frac {1} {2} \cdot | \left| \begin{array}{ccc}

x2 & y2 & 1 \\
x3 & y3 & 1 \end{array} \right| |.  </tex>

Numărul de puncte de pe laturile triunghiului poate fi determinat uşor folosind formula demonstrată în problema anterioară. Acum folosind formula $I + B/2 – 1 = A$ putem afla numărul $I$ şi problema e rezolvată prin întoarcerea numărului $I + B$. Complexitatea rezolvării este $O(log N)$ unde $N$ este valoarea maximă a coordonatelor.

Numărul de puncte de pe laturile triunghiului poate fi determinat uşor folosind formula demonstrată în problema anterioară. Acum folosind formula $I+B/2–1 = A$ putem afla numărul $I$ şi problema e rezolvată prin întoarcerea numărului $I+B$. Complexitatea rezolvării este $O(log N)$ unde $N$ este valoarea maximă a coordonatelor.

h2(#problema3). Problema 3 'Copaci':problema/copaci (infoarena)

h3. Rezolvare

Formula $I + B/2 – 1 = A$ prezentată mai sus se numeşte 'Teorema lui Pick':http://en.wikipedia.org/wiki/Pick%27s_theorem, iar ea este valabilă şi pentru poligoane oarecare. Acest fapt este adevărat pentru că orice poligon are o diagonală înterioară, această diagonală îl împarte în două poligoane distincte, dacă notăm $I{~1~}$ şi $I{~2~}$ punctele interioare celor două poligoane, $B{~1~}$ şi $B{~2~}$ punctele de pe laturile celor două poligoane, $A{~1~}$ şi $A{~2~}$ laturile celor două poligoane şi $D$ numărul de puncte de cooronate întregi de pe diagonală atunci dacă egalitatea ar fi fost satisfăcută pentru cele două poligoane atunci avem că $B{~1~} + B{~2~} = B + 2 * D - 2$, $I = I{~1~} + I{~2~} + D – 2$. De aici avem $A = A{~1~} + A{~2~} = I{~1~} + B{~1~}/2 – 1 + I{~2~} + B{~2~}/2 – 1 = I{~1~} + I{~2~} + B/2 + D – 1 – 2 = I + B/2 – 1$. Astfel putem demonstra prin inducţie că relaţia este satisfăcută pentru orice poligon.

Formula $I+B/2–1 = A$ prezentată mai sus se numeşte 'Teorema lui Pick':http://en.wikipedia.org/wiki/Pick%27s_theorem, iar ea este valabilă şi pentru poligoane oarecare. Acest fapt este adevărat pentru că orice poligon are o diagonală înterioară, această diagonală îl împarte în două poligoane distincte, dacă notăm $I{~1~}$ şi $I{~2~}$ punctele interioare celor două poligoane, $B{~1~}$ şi $B{~2~}$ punctele de pe laturile celor două poligoane, $A{~1~}$ şi $A{~2~}$ laturile celor două poligoane şi $D$ numărul de puncte de cooronate întregi de pe diagonală atunci dacă egalitatea ar fi fost satisfăcută pentru cele două poligoane atunci avem că $B{~1~}+B{~2~} = B+2D-2$, $I = I{~1~}+I{~2~}+D–2$. De aici avem $A = A{~1~}+A{~2~} = I{~1~}+B{~1~}/2–1+I{~2~}+B{~2~}/2-1 = I{~1~}+I{~2~}+B/2+D–1–2 = I+B/2–1$. Astfel putem demonstra prin inducţie că relaţia este satisfăcută pentru orice poligon.

Aria unui poligon poate fi calculată uşor folosind următoarea formulă
<tex> A = \sum (x_i \cdot y_{i+1}-x_{i+1} \cdot y_i) </tex>, unde punctul de indice $n+1$ este primul punct. Astfel obţinem un algoritm de complexitate $O(N log (MaxX + MaxY))$.

h3. Rezolvare:

Un pătrat cu latură ce conţine $L$ puncte, ce are laturile paralele cu axele de coordonate poate fi translatat în $(N – L + 1) × (N – L + 1)$ poziţii diferite pe grila noastră.

Un pătrat cu latură ce conţine $L$ puncte, ce are laturile paralele cu axele de coordonate poate fi translatat în $(N–L+1)×(N–L+1)$ poziţii diferite pe grila noastră.

-------------------------------------------
Considerăm pentru un pătrat din mulţimea soluţiilor, dreptunghiul minim cu laturile paralele cu axele de coordonate ce conţine acest pătrat. Este uşor să vedem că acest dreptunghi este de fapt un pătrat. Într-un pătrat ce are $L$ puncte pe latura înscrie $L – 2$ pătrate care nu au laturile paralele cu axele de coordonate.
-------------------------------------------