weightgraph

Weightgraph

== include(page="template/taskheader" task_id="weightgraph") ==

Se aproprie sarbatorile si trebuie sa cumperi cadouri! Se da un graf neorientat conex cu $N$ noduri si $M$ muchii. Tu te aflii in nodul $1$ si vrei sa strangi $K$ cadouri. Definim un drum valid un drum care pleaca din nodul $1$ si nu contine $2$ muchii consecutive identice. Costul unui astfel de drum este produsul valorilor muchiilor ce formeaza drumul. Numarul total de cadouri pe care le vei obtine este egal cu suma costurilor tuturor drumurilor valide din acest graf.
Astfel, trebuie sa ii dai fiecarei muchii un cost mai mare sau egal ca $0$ astfel incat numarul total de cadouri pe care le vei obtine sa fie exact $K$, iar dintre toate aceste posibile atriburi trebuie afisata o atribuire care are muchia de cost maxim minima posibila (trebuie minimizata muchia de cost maxim).

Se aproprie sarbatorile si trebuie sa cumperi cadouri! Se da un graf neorientat conex cu $N$ noduri si $M$ muchii. Tu te afli in nodul $1$ si vrei sa strangi $K$ cadouri. Definim un drum valid un drum care pleaca din nodul $1$, care contine un numar arbitrar de noduri, si care nu contine $2$ muchii consecutive identice. Costul unui astfel de drum este produsul valorilor muchiilor ce formeaza drumul. Numarul total de cadouri pe care le vei obtine este egal cu suma costurilor tuturor drumurilor valide din acest graf (care poate fi infinita de asemenea).
Astfel, trebuie sa ii asociati fiecarei muchii un cost mai mare sau egal ca $0$ astfel incat numarul total de cadouri pe care le veti obtine sa fie exact $K$, iar dintre toate aceste posibile atriburi trebuie afisata o atribuire care are muchia de cost maxim minima posibila (trebuie minimizata muchia de cost maxim).

h2. Date de intrare

* $2 ≤ N ≤ 100.000$
* $1 ≤ M ≤ 200.000$

* **$1 ≤ K ≤ N - 1$**

* $0 ≤ costul asociat unei muchii ≤ 10^9$
* Pentru $20%$ din punctaj graful va avea forma de lant.
* Pentru alte $20%$ din punctaj $N ≤ 1.000$ si $M ≤ 2.000$.
* Pentru alte $60%$ din punctaj restrictiile initiale.

* Nu vor exista muchii multiple sau muchii de la un nod la acelasi nod.

* Nu vor exista mai mult de o muchie intre oricare doua noduri, nici muchii de la un nod la el insusi.

* Daca exista mai multe solutii, puteti afisa oricare dintre ele.

* **Se poate demonstra că, în aceste condiţii, există mereu soluţie.**

h2. Exemplu
table(example). |_. weightgraph.in |_. weightgraph.out |

| This is some
  text written on
  multiple lines.
| This is another
  text written on
  multiple lines.
|

| 5 4 4
2 3
2 4
1 2
5 1
| 1
1
1
1 |
| 5 6 3
5 3
5 4
4 2
4 3
3 1
2 1 | 1
1
0
0
1
0
|

h3. Explicaţie

...

Pentru primul exemplu, drumurile valide sunt:
1->2
1->2->3
1->2->4
1->5
Toate acestea au costul $1$, iar costul total va fi $4$.
Am fi putut sa ii asociem muchiei (1, 2) costul $4$, iar restul muchiilor costul $0$, dar muchia de cost maxim (de cost $4$) nu este minima posibila (muchia de cost maxim este $1$ in asocierea de mai sus).

== include(page="template/taskfooter" task_id="weightgraph") ==