traseu3

Traseu3

== include(page="template/taskheader" task_id="traseu3") ==

Într-un oraş există un hotel de formă cubică, cu $N$ etaje, numerotate de la $1$ la $N$. Suprafaţa fiecărui etaj $K$ ($1 ≤ K ≤ N$) este pătratică şi este împărţită în $N x N$ camere identice alăturate, dispuse pe $N$ linii şi $N$ coloane, fiecare cameră având drept etichetă un triplet de numere naturale (K L C) (K=etajul, L=linia, C=coloana, 1 ≤ L, C ≤ N), ca în imaginea alăturată.

Într-un oraş există un hotel de formă cubică, cu $N$ etaje, numerotate de la $1$ la $N$. Suprafaţa fiecărui etaj $K$ $(1 ≤ K ≤ N)$ este pătratică şi este împărţită în $N x N$ camere identice alăturate, dispuse pe $N$ linii şi $N$ coloane, fiecare cameră având drept etichetă un triplet de numere naturale $(K L C)$ $(K=etajul, L=linia, C=coloana, 1 ≤ L, C ≤ N)$ , ca în imaginea alăturată.

!problema/traseu3?traseu1.png!
Dintre cele $N x N x N$ camere ale hotelului, una este specială deoarece în ea locuieşte de mult timp un şoricel. Fiind isteţ, el ştie eticheta camerei în care se află precum şi eticheta camerei în care bucătarul hotelului depozitează alimente.
Studiind hotelul, şoricelul a constatat că pe fiecare etaj, din orice cameră poate intra în toate camerele care au un perete comun cu aceasta (existând un mic orificiu pentru aerisire).

h2. Restricţii

* $... ≤ ... ≤ ...$

* $2 ≤ N ≤ 100$ ; $1 ≤ M ≤ 5000$ şi $M < N*N-2$
* Şoricelul nu intră decât în camere neocupate de clienţi.
* Camera şoricelului este o cameră neocupată de clienţi.
* Dacă există mai multe trasee ale şoricelului de la camera lui la camera de alimente care trec prin exact $T$ camere, atunci traseul afişat va fi cel mai mic traseu din punct de vedere lexicografic.
* Eticheta $(X1 Y1 Z1)$ se consideră strict mai mică în sens lexicografic ca eticheta $(X2 Y2 Z2)$ dacă este satisfăcută doar una dintre condiţiile:
1) $X1 < X2$ 2) $X1 = X2$ şi $Y1 < Y2$ 3) $X1 = X2$ şi $Y1 = Y2$ şi $Z1 < Z2$
* Eticheta $X1 Y1 Z1$ se consideră egală cu eticheta $X2 Y2 Z2$ dacă $X1 = X2$ şi $Y1 = Y2$ şi $Z1 = Z2$. Vom scrie egalitatea lor astfel: $(X1 Y1 Z1) = (X2 Y2 Z2)$.
* Traseul ce trece (în această ordine) prin camerele cu etichetele $(X1 Y1 Z1), (X2 Y2 Z2),..., (XT YT ZT)$ este mai mic din punct de vedere lexicografic ca traseul $(A1 B1 C1, A2 B2 C2,…, AT BT CT)$ dacă există un indice $J$ (1 ≤ J ≤ T) astfel încât $(X1 Y1 Z1) = (A1 B1 C1), (X2 Y2 Z2) = (A2 B2 C2)…., (XJ-1 YJ-1 ZJ-1) = (AJ-1 BJ-1 CJ-1)$ iar eticheta $(XJ YJ ZJ)$ este strict mai mică ca eticheta $(AJ BJ CJ)$.
* Se acordă: 40% din punctaj pentru determinarea corectă a numărului $T$ şi 100% din punctaj pentru rezolvarea corectă a ambelor cerinţe.
* Se garantează că există soluţie pentru ambele cerinţe, pentru toate datele de test.

h2. Exemplu

table(example). |_. traseu3.in |_. traseu3.out |
| This is some
  text written on
  multiple lines.
| This is another
  text written on
  multiple lines.
|

table(example). |_. traseu3.in |_. traseu3.out |_. Explicaţie|
| 3 4
1 1 1
3 3 3
3 3 1
2 1 1
3 1 1
3 1 3
| 7
1 1 1
1 1 2
1 1 3
1 2 3
1 3 3
2 3 3
3 3 3
| !problema/traseu3?traseu4.png!
|

h3. Explicaţie

...

Hotelul are trei etaje (1,2 şi 3). Pe fiecare etaj sunt 3*3 camere. Şoricelul se află în camera cu eticheta $1 1 1$ iar camera cu alimente are eticheta $3 3 3.$
Sunt 4 camere ocupate de clienţi. Acestea au etichetele : $3 3 1, 2 1 1, 3 1 1, 3 1 3.$
Traseul cel mai scurt trece prin $T=7$ camere.
Sunt mai multe astfel de trasee. De exemplu:
$1) (1 1 1, 1 1 2, 1 1 3, 1 2 3, 1 3 3, 2 3 3, 3 3 3)$
$2) (1 1 1, 1 1 2, 1 1 3, 2 1 3, 2 2 3, 3 2 3, 3 3 3)$
$3) (1 1 1, 1 2 1, 1 3 1, 1 3 2, 2 3 2, 3 2 3, 3 3 3)$
etc.
Cel mai mic astfel de traseu (în sens lexicografic) este traseul 1).

== include(page="template/taskfooter" task_id="traseu3") ==

9931