Revizia anterioară Revizia următoare
| Fişierul intrare/ieşire: | stirling.in, stirling.out | Sursă | Arhiva Educationala |
| Autor | Arhiva Educationala | Adăugată de |  Matei-Dan Epure •motty |
| Timp execuţie pe test | 0.075 sec | Limită de memorie | 20480 kbytes |
| Scorul tău | N/A | Dificultate | N/A |
Poti vedea testele pentru aceasta problema accesand atasamentele.Vezi solutiile trimise | Statistici
Numerele lui Stirling
Se numesc :
Numerele lui Stirling de speta I :
s(n,m) = numarul de permutari de ordin n cu exact m cicluri.
Numerele lui Stirling de speta II :
S(n,m) = numarul de partitionari ale unei submultimi de n elemente in m submultimi nevide.
Cerinta
Pentru n si m date, sa se calculeze una dintre cele 2 functii, s(n,m) sau S(n,m).
Date de intrare
Prima linie a fisierului de intrare stirling.in contine numarul de teste T. Urmatoarele T linii contin cate un set de 3 numere, s, n si m. Variabila s poate lua valorile 1 si 2, avand semnificatia ca se doreste rezultatul functiei de speta I sau speta II.
Date de iesire
Pentru fiecare test, afisati in fisierul stirling.out rezultatul functiilor modulo 98999, fiecare pe cate un rand.
Restrictii
- 1 ≤ T ≤ 1000
- 0 ≤ N, M ≤ 200
Exemplu
| stirling.in | stirling.out |
|---|---|
| 3 1 1 1 1 3 2 2 1 1 | 1 -3 1 |
Indicatii de rezolvare
Backtracking:
Ideea "naiva" de rezolvare a acestei probleme presupune generarea tuturor permutarilor de ordin n si calcularea numarului de cicluri a fiecareia dintre acestea. Aceasta rezolvare are complexitatea exponentiala si va obtine 10 puncte.
http://en.wikipedia.org/wiki/Stirling_numbers_of_the_first_kind
http://en.wikipedia.org/wiki/Stirling_numbers_of_the_second_kind
http://mathworld.wolfram.com/StirlingNumberoftheFirstKind.html
http://mathworld.wolfram.com/StirlingNumberoftheSecondKind.html
In urma unei demonstratii matematice, luandu-se in considerare relatiile prezentate pe cele doua link-uri de mai devreme, rezulta recurentele :
s(n,m) = s(n-1,m-1) + (n-1)*s(n-1,m)
S(n,m) = S(n-1,m-1) + k*S(n-1,m)
Recursivitate:
Pentru un singur test, o metoda optima de rezolvare este cea care foloseste o functie recursiva si calculeaza la fiecare pas elementele necesare recurentei pasului actual. Totusi, daca nu este folosita memoizarea, la un numar mai mare de teste, aceasta rezolvare va iesi din timp. Aceasta metoda are complexitatea o(N*M*T). Folosind aceasta metoda veti obtine 50 de puncte, o sursa ce foloseste aceasta metoda poate fi gasita aici.
Programare dinamica:
Solutia optima a acestei probleme este cea care foloseste metoda programarii dinamice. astfel vor fi precalculate 2 matrici s[N][M] si S[N][M] cu semnificatia s[i][j]=s(i,j) si S[i][j]=S(i,j). Folosindu-se aceasta metoda, la fiecare test vom raspunde in o(1) la intrebare si deci complexitatea va fi o(N*M + T). Aceasta rezolvare obtine 100 de puncte si o sursa ce o foloseste poate fi gasita aici.
