== include(page="template/taskheader" task_id="stirling") ==
h1. Numerele lui Stirling
Poveste şi cerinţă...
Se numesc :
Numerele lui Stirling de speta I :
s(n,m) = numarul de permutari de ordin ~n~ cu exact ~m~ cicluri.
Numerele lui Stirling de speta II :
S(n,m) = numarul de partitionari ale unei submultimi de ~n~ elemente in ~m~ submultimi nevide.
h2. Cerinta
Pentru ~n~ si ~m~ date, sa se calculeze una dintre cele 2 functii, ~s(n,m)~ sau ~S(n,m)~.
h2. Date de intrare
Fişierul de intrare $stirling.in$ ...
Prima linie a fisierului de intrare ~stirling.in~ contine numarul de teste T. Urmatoarele T linii contin cate un set de 3 numere, ~s~, ~n~ si ~m~. Variabila ~s~ poate lua valorile 1 si 2, avand semnificatia ca se doreste rezultatul functiei de speta I sau speta II.
h2. Date de ieşire
h2. Date de iesire
În fişierul de ieşire $stirling.out$ ...
Pentru fiecare test, afisati in fisierul ~stirling.out~ rezultatul functiilor modulo 98999, fiecare pe cate un rand.
h2. Restricţii
h2. Restrictii
* $... ≤ ... ≤ ...$
* 0 < T < 1001
* 0 <= n,m <= 200
h2. Exemplu
table(example). |_. stirling.in |_. stirling.out |
| This is some
text written on
multiple lines.
| This is another
text written on
multiple lines.
|
table(example). |_. task_id.in |_. task_id.out |
| 3
1 1 1
1 3 2
2 1 1
| 1
-3
1
|
h2. Indicatii de rezolvare
Backtracking:
Ideea "naiva" de rezolvare a acestei probleme presupune generarea tuturor permutarilor de ordin n si calcularea numarului de cicluri a fiecareia dintre acestea. Aceasta rezolvare are complexitatea exponentiala si va obtine 10 puncte.
http://en.wikipedia.org/wiki/Stirling_numbers_of_the_first_kind
http://en.wikipedia.org/wiki/Stirling_numbers_of_the_second_kind
http://mathworld.wolfram.com/StirlingNumberoftheFirstKind.html
http://mathworld.wolfram.com/StirlingNumberoftheSecondKind.html
In urma unei demonstratii matematice, luandu-se in considerare relatiile prezentate pe cele doua link-uri de mai devreme, rezulta recurentele :
s(n,m) = s(n-1,m-1) + (n-1)*s(n-1,m)
S(n,m) = S(n-1,m-1) + k*S(n-1,m)
Recursivitate:
h3. Explicaţie
Pentru un singur test, o metoda optima de rezolvare este cea care foloseste o functie recursiva si calculeaza la fiecare pas elementele necesare recurentei pasului actual. Totusi, daca nu este folosita memoizarea, la un numar mai mare de teste, aceasta rezolvare va iesi din timp. Folosind aceasta metoda veti obtine 50 de puncte, o sursa ce foloseste aceasta metoda poate fi gasita aici.
...
Programare dinamica:
== include(page="template/taskfooter" task_id="stirling") ==
Solutia optima a acestei probleme este cea care foloseste metoda programarii dinamice. astfel vor fi precalculate 2 matrici s[N][M] si S[N][M] cu semnificatia s[i][j]=s(i,j) si S[i][j]=S(i,j). Folosindu-se aceasta metoda, la fiecare test vom raspunde in o(1) la intrebare si deci complexitatea va fi o(N*M + T). Aceasta rezolvare obtine 100 de puncte si o sursa ce o foloseste poate fi gasita aici.
