h3. Explicaţie

Subsecvenţa de sumă maximă este: $(3, 4, -2, 3)$, a cărei sumă $3 + 4 - 2 + 3 = 8$ este maximă dintre toate cele $N*(N-1)/2$ secvenţe ce se pot forma.

Subsecvenţa de sumă maximă este: $(3, 4, -2, 3)$, a cărei sumă $3 + 4 - 2 + 3 = 8$ este maximă dintre toate cele $N*(N-1)/2$ subsecvenţe ce se pot forma.

h2. Indicaţii de rezolvare

Soluţia cea mai simplă constă în fixarea celor doi indici, de început şi de sfârşit, şi calcularea sumei pe acest interval. 'Soluţia':job_detail/257569?action=view-source are complexitatea $O(N^3^)$ şi obţine $20p$.
Dacă fixăm începutul secvenţei iar în timp ce iterăm cu al doilea indice calculăm şi suma secvenţei, obţinem o 'soluţie':job_detail/257568?action=view-source în complexitate $O(N^2^)$ ce obţine $40p$.

'Prima soluţie':job_detail/257566?action=view-source ce obţine $100p$ în complexitate $O(N)$ foloseşte metoda _programării dinamice_. Notând cu $S[i]$ suma tuturor valorile din şir de pe poziţiile $1 .. i$ atunci suma maximă a unei subsecvenţe ce se termină pe poziţia $i$ este $Max(S[i] - S[j]), j < i$ care este echivalentă cu $S[i] - Min(S[j]), j < i$. Rezultă că va trebui doar să reţinem minimul dintre toate sumele parţiale $S[j]$ cu $j < i$.

'Prima soluţie':job_detail/257566?action=view-source ce obţine $100p$ în complexitate $O(N)$ foloseşte următoarea idee: notând cu $S[i]$ suma tuturor valorile din şir de pe poziţiile $1 .. i$ atunci suma maximă a unei subsecvenţe ce se termină pe poziţia $i$ este $Max(S[i] - S[j]), j < i$ care este echivalentă cu $S[i] - Min(S[j]), j < i$. Rezultă că va trebui doar să reţinem minimul dintre toate sumele parţiale $S[j]$ cu $j < i$.

'Cea de a doua soluţie':job_detail/257567?action=view-source ce obţine $100p$ are la bază următoarea idee: elementul de pe poziţia $s{~i~}$ este sfârşitul unei subsecvenţe ce se extinde spre stânga cu subsecvenţa de sumă maximă ce se termină în $s{~i-1~}$ doar dacă această subsecvenţă are suma pozitivă. Complexitate: $O(N)$.
'Cea de a treia soluţie':job_detail/257573?action=view-source ce obţine $100p$ are complexitatea $O(N*log(N))$ şi foloseşte metoda _Divide et Impera_. Un interval $[i, j]$ îl împărţim în două: $[i, mid]$ şi $[mid + 1, j]$ unde $mid = (i + j) / 2$, calculăm subsecvenţa de sumă maximă în cele două intervale şi apoi le combinăm prin alegerea unei subsecvenţe care este suma dintre subsecvenţa de sumă maximă ce se termină pe poziţia $mid$ în intervalul $[i, mid]$ şi a celei care începe pe poziţia $mid + 1$ în intervalul $[mid + 1, j]$.
Multe dintre soluţiile de mai sus pot fi rezolvate cu $O(1)$ memorie. 'Iată un exemplu':job_detail/257620?action=view-source pentru a doua soluţie de $100p$.