# Dintr-o stare cu suma XOR 0, se poate ajunge doar in stari cu suma XOR pozitiva, sau jocul se termina. Scazand din orice gramada o cantitate poztiva, evident vom schimba configuratia binara a numarului de pietre cu cel putin un bit, deci si suma XOR. Jocul se termina cand toate gramezile au 0 pietre, deci si suma XOR va fi 0.
# Dintr-o stare cu suma XOR pozitiva, se poate ajunge intr-o stare cu suma XOR 0. Cautam o gramada cu un numar X de pietre, care are un bit de 1 pe pozitia bitului cel mai semnificativ al sumei XOR, notata cu S. Din acea gramada se vor scadea X - (X XOR S) pietre, (X XOR S) fiind mai mic decat X deoarece se anuleaza bitul cel mai semnificativ al lui S. Suma XOR ramasa dupa scadere este egala cu 0.

Pentru o demonstratie mai pe larg si alte variante de joc NIM, puteti consulta acest 'articol':http://www.math.ucla.edu/~tom/Game_Theory/comb.pdf

h3. Aplicatii
* 'Joc3':problema/joc3