# Dintr-o stare cu suma $XOR 0$, se poate ajunge doar în stări cu suma $XOR$ pozitivă, sau jocul se termină. Scăzând din orice grămadă o cantitate pozitivă, evident vom schimba configuraţia binară a numărului de pietre cu cel puţin un bit, deci şi suma $XOR$. Jocul se termină când toate grămezile au $0$ pietre, deci şi suma $XOR$ este $0$.
# Dintr-o stare cu suma $XOR$ nenulă, se poate ajunge într-o stare cu suma $XOR 0$. Căutăm o grămadă cu un număr $X$ de pietre, care are, în reprezentarea sa binară, valoarea $1$ pe poziţia bitului cel mai semnificativ al sumei $XOR$, să o notăm cu $S$. Din acea grămadă se vor scădea $X - (X XOR S)$ pietre, $(X XOR S)$ fiind mai mic decât $X$ deoarece se anulează bitul cel mai semnificativ al lui $S$. Suma $XOR$ rămasă după scădere este egală cu $0$.

Pentru o demonstraţie mai pe larg şi alte variante de joc NIM, puteţi consulta acest 'articol':http://www.math.ucla.edu/~tom/Game_Theory/comb.pdf.

O implementare de $100$ de puncte gasiti 'aici':job_detail/595739?action=view-source. Pentru o demonstraţie mai pe larg şi alte variante de joc NIM, puteţi consulta acest 'articol':http://www.math.ucla.edu/~tom/Game_Theory/comb.pdf.

h2. Aplicaţii