== include(page="template/taskheader" task_id="magic") ==

Se dă o matrice cu $N$ linii şi $N$ coloane. Coloanele şi liniile sunt etichetate cu numere de la 1 la $2N$, folosind fiecare număr câte o singură dată (fig.$1$ – exemplu pentru $N$={$3$}). Vom nota şirul etichetelor asociat liniilor matricei o{~1~},o{~2~},...,o{~n~}, iar şirul etichetelor asociat coloanelor matricei cu v{~1~},v{~2~},...,v{~n~} (fig. 4).Trebuie să se completeze fiecare element al matricei cu una dintre cifrele $1$ sau $9$ (fig. $2$). Prin concatenarea cifrelor de pe o linie sau o coloană obţinem un număr de $N$ cifre. În total se obţin $2N$  numere. Aceste numere trebuie să fie distincte două câte două şi aranjându-le în ordinea etichetelor asociate liniilor şi coloanelor trebuie să fie în ordine crescătoare (fig. $3$). Vom concatena cele $2N$ numere în ordinea etichetelor şi obţinem un singur număr de {$2$}({$N$}^{$2$}) cifre. Acest număr îl vom denumi cheie magică. Pentru exemplul din fig. $3$ obţinem cheia magică $111191199911919991$.

Se dă o matrice cu $N$ linii şi $N$ coloane. Coloanele şi liniile sunt etichetate cu numere de la 1 la $2N$, folosind fiecare număr câte o singură dată (fig.{$1$} – $N$={$3$}). Vom nota şirul etichetelor asociat liniilor matricei o{~1~},o{~2~},...,o{~n~}, iar şirul etichetelor asociat coloanelor matricei cu v{~1~},v{~2~},...,v{~n~} (fig.4).Trebuie să se completeze fiecare element al matricei cu una dintre cifrele $1$ sau $9$ (fig. $2$). Prin concatenarea cifrelor de pe o linie sau o coloană obţinem un număr de $N$ cifre. În total se obţin $2N$  numere. Aceste numere trebuie să fie distincte două câte două şi aranjându-le în ordinea etichetelor asociate liniilor şi coloanelor trebuie să fie în ordine crescătoare (fig. $3$). Vom concatena cele $2N$ numere în ordinea etichetelor şi obţinem un singur număr de {$2$}({$N$}^{$2$}) cifre. Acest număr îl vom denumi cheie magică. Pentru exemplul din fig. $3$ obţinem cheia magică $111191199911919991$.

!problema/magic/?magic.jpg!