Diferente pentru problema/inversmodular intre reviziile #93 si #117

Nu exista diferente intre titluri.

Diferente intre continut:

== include(page="template/taskheader" task_id="inversmodular") ==
Se dau doua numere $N$ si $P$, cu $1 ≤ N ≤ P-1$, iar cmmdc({$N$},{$P$}) = 1. Sa se determine $X$ intre $1$ si $P-1$ astfel incat $N * X$ sa fie congruent cu {$1$}, modulo $P$ (restul impartirii lui {$N * X$} la $P$ sa fie {$1$}). Numarul $X$ se va numi inversul modular al lui $N$.
Se dau doua numere $A$ si $N$, cu $1 ≤ A ≤ N-1$, prime intre ele (cel mai mare divizor comun al lor este $1$). Sa se determine $X$ intre $1$ si $N-1$ astfel incat $A * X$ sa fie congruent cu {$1$}, modulo $N$ (restul impartirii lui {$A * X$} la $N$ sa fie {$1$}). Numarul $X$ se va numi inversul modular al lui $A$.
h2. Date de intrare
Fisierul de intrare $inversmodular.in$ va contine pe prima linie numerele $N$ si $P$, separate printr-un spatiu.
Fisierul de intrare $inversmodular.in$ va contine pe prima linie numerele $A$ si $N$, separate printr-un spatiu.
h2. Date de ieşire
h2. Restricţii
* $1 ≤ P ≤ 2.000.000.000$
* $1 ≤ N ≤ P-1$
* Pentru primele $80%$ din teste P este prim.
* $1 &le; A < N &le; 2.000.000.000$
* Pentru $60%$ din teste $N$ este prim.
h2. Exemplu
h2. Indicaţii de rezolvare
Un algoritm evident ar fi incercarea tuturor numerelor $X$ intre $1$ si $P-1$ si verificarea proprietatii din enunt pentru $X$. O astfel de solutie are complexitatea {$O(P)$} si obtine 30 de puncte. Sursa se poate gasi 'aici':job_detail/223241?action=view-source.
Un algoritm evident ar fi incercarea tuturor numerelor $X$ intre $1$ si $N-1$ si verificarea proprietatii din enunt pentru $X$. O astfel de solutie are complexitatea {$O(N)$} si obtine 30 de puncte. Sursa se poate gasi 'aici':job_detail/223241?action=view-source.
Complexitatea optima pentru determinarea inversului modular este {$O(log{~2~}P)$}. Din "mica teorema a lui Fermat":http://en.wikipedia.org/wiki/Fermat%27s_little_theorem stim ca  {$X^phi(P)^ = 1$}({$%P$}), pentru orice numar $P$ si $X$,pentru care se respecta conditia ca $X$ e relativ prim cu $P$. Demonstratia acestei teoreme se bazeaza pe teoria grupurilor.
Din teorema rezulta ca {$X^phi(P)^ = X * X^phi(P)-1^$} este congruent cu $1$, modulo $P$, deci {$X^phi(P)-1^$} este inversul modular al lui {$X$}. Solutia problemei va fi deci {$X^phi(P)-1^ modulo P$}. Putem folosi 'exponentierea in timp logaritmic':problema/lgput pentru a calcula {$X^phi(P)-1^ modulo P$} in complexitate {$O(log{~2~}P)$}.Pentru cazul particular cand $P$ este prim, $phi(P) = P - 1$, deci raspunsul va fi $X^P-2^$.
O implementare ce se bazeaza pe aceasta idee se gaseste 'aici':job_detail/227473?action=view-source.
O complexitate mai buna se obtine folosind "teorema lui Euler":http://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_theorem, din care avem ca <tex>A^{\varphi(N)} \equiv 1 (mod N)</tex>, unde <tex>\varphi(N)</tex> reprezinta numarul numerelor mai mici decat $N$ si prime cu $N$. Cum <tex>A^{\varphi(N)} = A * A^{\varphi(N)-1}</tex> rezulta ca <tex>A^{\varphi(N)-1}</tex> este inversul modular al lui {$A$}. Solutia problemei va fi deci <tex>A^{\varphi(N)-1} mod N</tex>. Putem folosi 'exponentierea in timp logaritmic':problema/lgput pentru a calcula aceasta putere in complexitate {$O(log{~2~}N)$}. In plus, putem calcula <tex>\varphi(N)</tex> in complexitate <tex>O(\sqrt{N})</tex>. Pentru cazul particular cand $N$ este prim, <tex>\varphi(N) = N-1</tex>, deci raspunsul va fi $A^N-2^$ (dupa cum reiese si din "mica teorema a lui Fermat":http://en.wikipedia.org/wiki/Fermat%27s_little_theorem). O implementare ce se bazeaza pe aceasta idee se gaseste 'aici':job_detail/227473?action=view-source.
O alta abordare optima se bazeaza pe principiul 'extins al lui Euclid':problema/euclid3: oricare ar fi $N$ si $P$ numere intregi exista doua numere intregi $A$ si $B$ astfel incat {$A * N + B * P = cmmdc(N, P)$}. Cum in problema determinarii inversului modular avem $P$ prim, exista $A$ si $B$ astfel incat {$A * N + B * P = 1$}. Considerand ecuatia modulo $P$, deoarece {$B * P$} este divizibil cu {$P$}, avem {$A * N$} congruent cu {$1$} (modulo $P$), deci $A$ este inversul modular pentru {$N$}. Complexitatea acestui algoritm este tot {$O(log{~2~}P)$}, deoarece coeficientii $A$ si $B$ pot fi determinati in timp logaritmic. {$A$} poate sa fie si negativ, deci trebuie sa adaugam $P$ la $A$ pana devine pozitiv.
Complexitatea optima pentru determinarea inversului modular este {$O(log{~2~}N)$}. Putem folosi principiul 'extins al lui Euclid':problema/euclid3: oricare ar fi $A$ si $N$ numere intregi exista doua numere $X$ si $Y$ de asemenea intregi astfel incat {$A * X + N * Y = cmmdc(A, N)$}. Cum in problema determinarii inversului modular avem {$cmmdc(A, N) = 1$}, exista $X$ si $Y$ astfel incat {$A * X + N * Y = 1$}. Considerand ecuatia modulo $N$, deoarece {$N * Y$} este divizibil cu {$N$}, avem {$A * X$} congruent cu {$1$} (modulo $N$), deci $X$ este inversul modular pentru {$A$}. Coeficientii $X$ si $Y$ pot fi determinati in timp logaritmic. {$X$} poate sa fie si negativ, deci trebuie sa adaugam $N$ la $X$ pana cand devine pozitiv. O astfel de solutie se poate gasi 'aici':job_detail/228208?action=view-source.
O astfel de solutie se poate gasi 'aici':job_detail/227474?action=view-source.
h2. Aplicatii
Ambele rezolvari pot fi extinse la cazul cand $P$ nu este prim si {$cmmdc(N, P) = 1$}.
O aplicatie foarte utila a inversilor modulari este calcularea combinarilor, modulo un numar prim $P$ dat. De exemplu, avem:
h4. Probleme similare
 
Cel mai des determinarea inversului modular este utila in calcularea combinarilor modulo un numar prim P dat. Pentru a calcula Comb(K, N) = N! / .. latex here.., calculam...
 
* "p11174":http://icpcres.ecs.baylor.edu/onlinejudge/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&category=23&page=show_problem&problem=2115
<tex>C^K_N = \frac{N!}{K!*(N-K)!} = N! * (K!)^{-1} * [(N-K)!]^{-1}</tex>
Prin <tex>(K!)^{-1}</tex> si <tex>[(N-K)!]^{-1}</tex> se inteleg inversii modulari ai acestor numere, modulo {$P$}. Astfel putem calcula o combinare de ordin $N$, modulo $P$, in timp {$O(N)$}.
Alte aplicatii ce folosesc notiunile prezentate mai sus se regasesc in urmatoarele probleme:
* 'Functii':problema/functii
* 'Jap2':problema/jap2
* "The equation":http://acm.sgu.ru/problem.php?contest=0&problem=106, sgu
* "Stand in Line":http://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&category=23&page=show_problem&problem=2115, uva
== include(page="template/taskfooter" task_id="inversmodular") ==

Nu exista diferente intre securitate.

Diferente intre topic forum:

 
3451