$N$^{$P-1$}^ = {$1$} (%{$P$}), deci :
$N$ * $N$^{$P-2$}^ = {$1$} (%{$P$});
De unde se observa ca $N$^{$P-2$}^ este defapt $X$ -ul cautat. Deci solutia, pe scurt pentru cei care nu sunt prea interesati de demonstratie este sa ridicam $N$ la puterea $P-2$, modulo $P$, si acest numar va fi rezultatul dorit. Ridicarea la putere se face in timp logaritmic, deci complexitate finala este O(log{~2~}$P$). O astfel de implementare se poate vedea "aici":http://infoarena.ro/job_detail/223243?action=view-source .

A 2-a solutie, se bazeaza pe un simplu principiu, anume cel al euclidului extins, care zice ca exista doua numere $A$ si $B$, intregi, astfel incat $A$ * $N$ + $B$ * $P$ = cmmdc({$N$},{$P$}). Nu voi intra in detalii in legatura cu algoritmul de gasire a acestor numere $A$ si $B$, algoritm care se gaseste in Cormen sau chiar pe "infoarena":http://infoarena.ro/problema/euclid3. Se presupune ca le putem gasi in complexitate O(log{~2~}{$M$}). cmmdc({$N$},{$P$}) = 1, deoarece $N$ ≤ $P -  1$ iar $P$ este prim. Deci avem ca $A$ * $N$ + $B$ * $P$ = $1$, ecuatie care o transformam in $Z{~p~}$ ,in alte cuvinte modulo $P$, si rezulta $A$ * $N$ + $0$ = $1$, fiindca $B$ * $P$ e divizibil cu $P$,din motive evidente. $A$ * $N$ = $1$ (% $P$ ), Se observa din nou ca $A$ este $X$ -ul cautat. Din pacate acum $A$ -ul poate sa fie si negativ, deci trebuie sa adaugam $P$ la $A$ pana devine pozitiv. Complexitatea O(log{~2~} $P$).

A 2-a solutie, se bazeaza pe un simplu principiu, anume cel al euclidului extins, care zice ca exista doua numere $A$ si $B$, intregi, astfel incat $A$ * $N$ + $B$ * $P$ = cmmdc({$N$},{$P$}). Nu voi intra in detalii in legatura cu algoritmul de gasire a acestor numere $A$ si $B$, algoritm care se gaseste in Cormen sau chiar pe "infoarena":http://infoarena.ro/problema/euclid3. Se presupune ca le putem gasi in complexitate O(log{~2~}{$M$}). cmmdc({$N$},{$P$}) = 1, deoarece $N$ ≤ $P- 1$ iar $P$ este prim. Deci avem ca $A$ * $N$ + $B$ * $P$ = $1$, ecuatie care o transformam in $Z{~p~}$ ,in alte cuvinte modulo $P$, si rezulta $A$ * $N$ + $0$ = $1$, fiindca $B$ * $P$ e divizibil cu $P$,din motive evidente. $A$ * $N$ = $1$ (% $P$ ), Se observa din nou ca $A$ este $X$ -ul cautat. Din pacate acum $A$ -ul poate sa fie si negativ, deci trebuie sa adaugam $P$ la $A$ pana devine pozitiv. Complexitatea O(log{~2~} $P$).

h4. Avantaje si Dezavantaje