$N$^{$P - 1$}^ = {$1$} (%$P$), deci :
$N$ * $N$^{$P - 2$}^ = {$1$} (%$P$);
De unde se observa ca $N$^{$P - 2$}^ este defapt $X$ -ul cautat. Deci solutia, pe scurt pentru cei care nu sunt prea interesati de demonstratie este sa ridicam $N$ la puterea $P - 2$ modulo $P$, si acest numar va fi rezultatul dorit. Ridicarea la putere se face in timp logaritmic, deci complexitate finala este O(log ~2~ $P$). O astfel de implementare se poate vedea aici http://infoarena.ro/job_detail/223243?action=view-source .

A 2-a solutie, se bazeaza pe un simplu principiu. Anume cel al euclidului extins, si anume ca exista doua numere $A$ si $B$, intregi, astfel incat $A$ * $N$ + $B$ * $P$ = cmmdc($N$,$P$). Nu voi intra in detalii in legatura cu algoritmul de gasire a acestor numere $A$ si $B$, algoritm care se gaseste in Cormen sau chiar pe infoarena( http://infoarena.ro/problema/euclid3). Se presupune ca le putem gasi in complexitate O($M$). cmmdc($N$,$P$) = 1, deoarece $N$ ≤ $P -  1$ iar $P$ este prim. Deci avem ca $A$ * $N$ + $B$ * $P$ = $1$, ecuatie care o transformam in Z~p~,in alte cuvinte modulo $P$, si rezulta $A$ * $N$ + $0$ = $1$, fiindca $B$ * $P$ e divizibil cu $P$,din motive evidente. $A$ * $N$ = $1$ (%$P$), Se observa din nou ca $A$ este $X$ -ul cautat. Din pacate acum $A$ -ul poate sa fie si negativ, deci trebuie sa adaugam $P$ la $A$ pana devine pozitiv. Complexitatea O(log~2~$M$).

A 2-a solutie, se bazeaza pe un simplu principiu. Anume cel al euclidului extins, si anume ca exista doua numere $A$ si $B$, intregi, astfel incat $A$ * $N$ + $B$ * $P$ = cmmdc($N$,$P$). Nu voi intra in detalii in legatura cu algoritmul de gasire a acestor numere $A$ si $B$, algoritm care se gaseste in Cormen sau chiar pe infoarena( http://infoarena.ro/problema/euclid3). Se presupune ca le putem gasi in complexitate O( $M$ ). cmmdc( $N$ , $P$ ) = 1, deoarece $N$ ≤ $P -  1$ iar $P$ este prim. Deci avem ca $A$ * $N$ + $B$ * $P$ = $1$, ecuatie care o transformam in Z~p~,in alte cuvinte modulo $P$, si rezulta $A$ * $N$ + $0$ = $1$, fiindca $B$ * $P$ e divizibil cu $P$,din motive evidente. $A$ * $N$ = $1$ (%$P$), Se observa din nou ca $A$ este $X$ -ul cautat. Din pacate acum $A$ -ul poate sa fie si negativ, deci trebuie sa adaugam $P$ la $A$ pana devine pozitiv. Complexitatea O(log~2~ $M$ ).