'Eliminarea Gaussiana':http://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_reduction este cel mai folosit algoritm pentru rezolvarea sistemelor de ecuatii liniare. Metoda reduce succesiv ecuatiile, lasand matricea initiala sub o forma din care vom putea afla usor valorile necunoscutelor. Astfel, notand cu $p{~i~}$ pozitia celui mai din stanga coeficient nenul de pe linia $i$, algoritmul garanteaza obtinerea urmatoarului sir de relatii: $p{~1~} < p{~2~} < ... < p{~N~} (1)$. Aceste pozitii vor fi chiar indicii necunoscutelor fixe, cele care pot lua o singura valoare pentru ca sistemul sa aiba in continuare solutie. Celelalte necunoscute, ale caror indici nu se regasesc printre aceste pozitii, pot lua orice valoare si se numesc variabile libere. Pentru a usura calculele, vom considera in continuare ca acestea iau valoarea $0$.

In continuare vom descrie algoritmul propriu-zis. Pornim cu un indice pentru linii, sa-l notam $i$, si un indice pentru coloane, $j$, initializate initial cu $1$. Cautam pe coloana $j$, o linie $x$, $i &le; x$ astfel incat $A{~x,j~} &ne; 0$. Daca aceasta linie nu exista, inseamna ca necunoscuta cu indicele $j$ este variabila libera, iar noi incrementam indicele $j$. Altfel, interschimbam liniile $i$ si $x$ si impartim toata ecuatia de pe linia $i$ la $A{~i,j~}$. In continuare vom scadea ecuatia $i$ din toate ecuatiile $u$, $i < u$, astfel incat toti coeficientii A{~u,j~} sa devina $0$. Acest lucru este necesar pentru respectarea conditiei $(1)$, avand in vedere ca nu putem avea $x &ne; i$ cu $p{~x~} = p{~i~}.

In continuare vom descrie algoritmul propriu-zis. Pornim cu un indice pentru linii, sa-l notam $i$, si un indice pentru coloane, $j$, initializate initial cu $1$. Cautam pe coloana $j$, o linie $x$, $i &le; x$ astfel incat $A{~x,j~} &ne; 0$. Daca aceasta linie nu exista, inseamna ca necunoscuta cu indicele $j$ este variabila libera, iar noi incrementam indicele $j$. Altfel, interschimbam liniile $i$ si $x$ si impartim toata ecuatia de pe linia $i$ la $A{~i,j~}$, pentru a face coeficientul A{~i,j~} egal cu $1$, usurand calculele urmatoare. In continuare vom scadea, din toate ecuatiile $u$, $i < u$, ecuatia $i$ inmultita cu o valoare $z{~u~}$, astfel incat toti coeficientii A{~u,j~} sa devina $0$. Avem astfel $A{~u,j~} - z{~u~} * A{~i,j~} = 0 => z{~u~} = A{~u,j~} / A{~i,j~}$, dar cum $A{~i,j~} = 1$, $z{~u~} = A{~u,j~}$. Aceasta reducere este necesara pentru respectarea conditiei $(1)$, avand in vedere ca nu putem avea $x &ne; i$ cu $p{~x~} = p{~i~}$. Incrementam pe $i$ si $j$ si reluam procedeul de la inceput. Algoritmul se incheie cand $i > N$ sau $j > M$.
 
Acum matricea respecta relatia $(1)$ si putem incepe sa calculam valorile necunoscutelor. Luam ecuatiile in ordine de la $N$ spre $1$, gasim pozitia $p{~i~}$, iar $x{~p{~i~}~}$ va fi dat de relatia $x{~p{~i~}~} = A{~i,N+1~} - A{~i,N~} * x{~N~} - A{~i,N-1~} * x{~N-1~} - ... - A{~i,p{~i~}+1~} * x{~p{~i~}+1~}$. Relatia $(1)$ ne garanteaza ca $x{~p{~i~}+1~}, x{~p{~i~}+2~}, ... , x{~N~}$ vor fi calculate anterior. Daca pe parcurs gasim o linie de forma $(0, 0, 0, ... , 0, X)$ (doar rezultatul ecuatiei este nenul), sistemul nu are solutie.
 

== include(page="template/taskfooter" task_id="gauss") ==