Atenţie! Aceasta este o versiune veche a paginii, scrisă la 2009-01-01 23:45:34.
Revizia anterioară   Revizia următoare  

 

Fişierul intrare/ieşire:fmcm.in, fmcm.outSursăArhiva educationala
AutorArhiva EducationalaAdăugată depauldbPaul-Dan Baltescu pauldb
Timp execuţie pe test0.3 secLimită de memorie36864 kbytes
Scorul tăuN/ADificultateN/A

Vezi solutiile trimise | Statistici

Flux maxim de cost minim

Se da o retea de transport sub forma unui graf orientat cu N noduri si M arce. Fiecare arc are asociate o capacitate si un cost pentru fiecare unitate de flux. In graf se afla 2 noduri distincte, notate cu S si D, ce reprezinta sursa si, respectiv, destinatia retelei. Sa se determine costul minim pentru a se transmite o cantitate maxima de flux de la sursa la destinatie.

Date de intrare

Pe prima linie a fisierului de intrare fmcm.in, se afla 4 numere intregi N M S D cu semnificatia din enunt. Pe urmatoarele M linii se afla cate 4 numere x y c z, fiecare astfel de grup reprezentand un arc de la x la y cu capacitatea c si costul z.

Date de ieşire

În fisierul de iesire fmcm.out se va afla un numar intreg reprezentand valoarea costului minim pentru a transmite o cantitate maxima de flux de la sursa la destinatie.

Restricţii

  • 1 ≤ N ≤ 350
  • 1 ≤ M ≤ 12 500
  • 1 ≤ c ≤ 10 000
  • -1 000 ≤ z ≤ 1 000
  • Se garanteaza ca graful nu va avea cicluri negative.
  • Se garanteaza ca nu exista nici un arc care sa intre in S si nici un arc care sa iasa din D.
  • Pentru simplitate, vom considera ca daca exista arc de la x la y, atunci el este unic si nu va exista arc de la y la x.
  • Pentru 50% din teste N ≤ 50 si M ≤ 200
  • Pentru 70% din teste N ≤ 200 si M ≤ 7 500

Exemplu

fmcm.infmcm.out
5 7 1 5
1 2 9 5
1 3 2 4
2 3 3 3
2 4 2 1
3 4 2 2
3 5 10 7
4 5 3 4
86

Indicatii de rezolvare

Aceasta problema se rezolva in mod asemanator cu problema determinarii fluxului maxim, cu cateva modificari. Este din nou necesara constuirea grafului rezidual, in felul urmator: pentru fiecare arc din graful initial se mai adauga cate un arc (arc de intoarcere) orientat invers cu capacitatea 0 si cu costul opus (-z). Algoritmul ruleaza atat timp cat se mai poate introduce flux in retea. La fiecare pas, este necesara gasirea unui drum de cost minim vaid (fluxul de pe fiecare arc sa fie strict mai mic decat capacitatea) de la sursa la destinatie numit drum de augmentare. Apoi, fluxul va fi incrementat pe acest drum cu valoarea maxima posibila (minimul din diferentele dintre capacitate si flux pentru fiecare arc de pe drum). Pentru a gasi drumul de augmentare, o alternativa ar fi sa folosim algoritmul Bellman-Ford, datorita prezentei costurilor negative pe arce. Chiar daca z ≥ 0, arcele de intoarcere ar fi tot negative, deci si cu aceasta restrictie drumul de augmentare ar trebui cautat tot cu algoritmul Bellman-Ford. Acest algoritm are complexitate O(N*M), ceea ce conduce la o complexitate totala O(N2*M2), insa in practica se comporta mai bine. Aceasta solutie obtine 50 de puncte; o sursa ce implementeaza aceasta idee poate fi gasita aici. Algoritmul Bellman-Ford poate fi rafinat folosind o coada pentru a mentine nodurile ce mai pot contribui la imbunatatirea costurilor. Desi complexitatea ramane aceeasi, in practica, timpul de rulare scade simtitor. O astfel de abordare obtine 70 de puncte si o sursa demonstrativa poate fi gasita aici.

Pentru a gasi drumul de augmentare, poate fi folosit si algoritmul lui Dijkstra, dar inainte graful trebuie modificat astfel incat sa nu mai exista arce cu cost negativ. Definim Dist[i] distanta minima de la S la nodul i. Initial, folosind algoritmul lui Bellman-Ford calculam Dist[i]. Apoi costul fiecarui arc z[x-y] va fi inlocuit cu z[x -> y] + Dist[x] - Dist[y]. Costul arcelor devine pozitiv, altfel ar insemna ca Dist[x] + z[x -> y] < Dist[y], ceea ce ar contrazice minimalitatea lui Dist[y]. Costul drumurilor minime difera fata de cele initale prin constanta Dist[x] - Dist[y], deci transformarea modifica doar costul acestora (si nu le schimba cu alte drumuri). Apoi, la fiecare pas vom putea folosi algorimul lui Dijkstra pentru a determina drumul de augmentare si vom putea folosi distantele calculate cu acest algoritm pentru a modifica din nou costurile arcelor. Algoritmul lui Dijkstra are complexitate O(MlogN) si, deci, complexitatea totala devine O(N*M2*logN), dar este din nou supraestimata. Aceasta rezolvare obtine 100 de puncte si o sursa demonstrativa se gaseste aici.
Acest algoritm poate fi aplicat si pentru grafuri neorientate cu modificari minime. In plus, poate fi aplicat si pentru determinarea cuplajului de cost minim intr-un graf bipartit. De asemenea, pentru a determina cuplajul de cost maxim intr-un graf biparit, folosim acelasi algoritm dupa ce costul fiecarei muchii a fost inlocuit cu diferenta dintre valoarea maxima a unei muchii si valoarea curenta. In acest caz, rezultatul va fi egal cu diferenta dintre produsul fluxului si valoarea maxima a unei muchii si costul fluxului obtinut pe graful modificat.

Aplicatii

Algoritmul prezentat in aceasta problema este necesar pentru a rezolva mai multe probleme de informatica, cum ar fi:

Trebuie sa te autentifici pentru a trimite solutii. Click aici

Cum se trimit solutii?