expected3

Expected3

== include(page="template/taskheader" task_id="expected3") ==

Poveste şi cerinţă...

După ce ai primit cadou de Crăciun o cutie cu $N$ bile verzi, $M$ bile roşii şi o bilă neagră, te-ai gândit la următorul joc: la fiecare pas extragi cu probabilitate egală una dintre bilele din cutie.
 
* dacă bila este verde, vei câştiga $A$ puncte
* dacă bila este roşie, vei pierde $B$ puncte
* dacă bila este neagră, jocul se termină
 
După ce ai extras o bilă, aceasta **nu** va mai fi pusă înapoi în cutie. Care este valoarea medie (expected value) a numărului de puncte pe care l-ai obţine?
 
Se poate demonstra că răspunsul se scrie sub forma unei fracţii ireductibile $P/Q$, unde $gcd(Q, 1 000 000 007) = 1$. În acest caz, va trebui să afişaţi numărul $P * Q^-1^$ modulo $1 000 000 007$.

h2. Date de intrare

h2. Date de ieşire

În fişierul de ieşire $expected3.out$ se va afişa un singur număr de forma $P$ * $Q^-1$ modulo $1 000 000 007$, unde $Q^{-1}$ reprezintă inversul modular al lui $Q$ faţă de $1 000 000 007$, iar răspunsul poate fi exprimat ca fracţia ireductibilă $P / Q$.

În fişierul de ieşire $expected3.out$ se va afişa un singur număr de forma $P$ * $Q^-1^$ modulo $1 000 000 007$, unde $Q^-1^$ reprezintă inversul modular al lui $Q$ faţă de $1 000 000 007$.

h2. Restricţii
* $1 ≤ N, M ≤ 100 000$
* $1 ≤ A, B ≤ 1 000 000 000$
* Pentru $40$ de puncte, $1 ≤ N, M ≤ 1000$

* Pentru alte $20$ de puncte, $1 ≤ N, M ≤ 3000$

h2. Exemplu
table(example). |_. expected3.in |_. expected3.out |

| 1 1 3 1
| 1

|

1 1 3 1

| 5 3 3 4
| 500000005

|

400000004

| 10000 10000 90000 70000
| 100000000

|
h3. Explicaţie

...

Pentru primul exemplu, se pot extrage bilele astfel:
 
* N (0 puncte), cu probabilitate de $1/3$
* VN (3 puncte), cu probabilitate de $1/6$
* RN (-1 puncte), cu probabilitate de $1/6$
* VRN (2 puncte), cu probabilitate de $1/6$
* RVN (2 puncte), cu probabilitate de $1/6$
 
Expected value este <tex> \frac{0}{3} + \frac{3}{6} + \frac{-1}{6} + \frac{2}{6} + \frac{2}{6} = 1 </tex>

== include(page="template/taskfooter" task_id="expected3") ==