| Fişierul intrare/ieşire: | bazar.in, bazar.out | Sursă | Algoritmiada 2019 Runda PreONI |
| Autor | Alexandru Petrescu | Adăugată de |  Alexandru Petrescu •alexpetrescu |
| Timp execuţie pe test | 0.5 sec | Limită de memorie | 524288 kbytes |
| Scorul tău | N/A | Dificultate | N/A |
Vezi solutiile trimise | Statistici
Bazar
In timp ce se plimba prin bazarul din Istanbul, Marcel a dat peste urmatoarea problema la departamentul care se ocupa cu schimbul de vaci.
Cerinta
Se considera un camp de iarba, un sistem de coordonate xOy si doi tauri, Ollu si Bollu, care sunt legati printr-un fir extensibil si ascutit. Ei sunt initial localizati in punctul (0, 0). Ambii se pot deplasa cu aceeasi viteza doar in Nord si Est. Atunci cand se plimba, firul care ii leaga taie iarba pe care o intampina. Ei se deplaseaza in asa fel incat sa taie cat mai multa iarba folosind firul.
Exista si N puncte unde poti pune cate o zambila. Taurii isi vor stabili traseul astfel incat sa viziteze toate zambilele puse de tine. Pentru a nu crea confuzie, trebuie sa alegi punctele unde pui zambilele astfel incat toate sa fie vizitabile intr-o singura parcurgere a campului, avand in vedere restrictia de mers doar in Nord si Est a taurilor. Am uitat sa precizez: Ollu si Bollu sunt cei mai destepti tauri, ei isi dau seama rapid cand incerci sa ii pacalesti. Din acest motiv, nu poti pune mai putine zambile decat numarul de maxim de zambile pe care le-ai putea pune in cea mai favorabila alegere a punctelor - altfel i-ai irita foarte tare pe Ollu si Bollu.
Pentru toate modurile corecte in care ai putea alege setul de puncte unde sa pui zambile, Bisisica (un fel de Miorita, doar ca mai incapatanata) calculeaza cantitatea de iarba pe care o vor taia taurii cu firul lor daca isi propun sa viziteze zambilele alese. La final, ea aduna toate aceste numere iar pe suma o denumeste cu numele sau. Care este restul la impartirea cu 109 + 7 a numarului ei?
Date de intrare
Fişierul de intrare bazar.in contine pe prima linie numarul N de puncte. Pe urmatoarele N linii se afla cate doua numere naturale nenule mai mici sau egale cu 109, descriind coordonatele punctelor unde se poate afla cate o zambila.
Date de ieşire
În fişierul de ieşire bazar.out se afla restul impartirii numarului Bisisica la 109 + 7.
Restricţii
- 1 ≤ N ≤ 200.000
- Pentru 4% din punctaj, N ≤ 7
- Pentru 9% din punctaj, N ≤ 16
- Pentru 23% din punctaj, N ≤ 1.000
- Pentru 44% din punctaj, punctele din input sunt relativ uniform distribuite in plan
- Punctele date in input sunt distincte doua cate doua
- Formal, un mod corect in care ai putea alege setul de puncte unde sa pui zambile corespunde unei submultimi de cardinal maxim a multimii de N puncte date, astfel incat exista o ordonare a punctelor alese in asa fel incat coordonatele X, respectiv Y, sa fie simultan in ordine nedescrescatoare. Atentie: submultime de cardinal maxim inseamna altceva decat submultime maximala!
Exemplu
| bazar.in | bazar.out |
|---|---|
| 9 5 3 9 6 7 7 2 2 6 4 3 1 10 8 6 3 8 5 | 24 |
Explicaţie
Numarul maxim de zambile ce pot fi puse pentru a putea fi vizitate dintr-o parcurgere este 7. Sunt doua feluri de a alege 7 puncte cu proprietatea ceruta.
Prima varianta de traseu: (0, 0) - (3, 1) - (5, 3) - (6, 3) - (6, 4) - (8, 5) - (9, 6) - (10, 8)
A doua varianta de traseu: (0, 0) - (2, 2) - (5, 3) - (6, 3) - (6, 4) - (8, 5) - (9, 6) - (10, 8)
Pentru ca taurii se vor deplasa astfel incat sa taie cat mai multa iarba, o posibila plimbare a lor, pentru prima varianta de traseu, este urmatoarea:
Initial, Ollu si Bollu se afla in punctul (0, 0). Ollu se deplaseaza spre Nord, iar Bollu spre Est. Atunci cand Ollu ajunge in punctul (0, 1), Bollu se afla in punctul (1, 0), deoarece ei au aceeasi viteza. Daca Ollu s-ar deplasa in continuare spre Nord, nu ar mai putea ajunge la zambila aflata in punctul (3, 1), deoarece el nu se poate deplasa decat spre Nord sau Est. Asa ca isi schimba directie, merge spre Est, pana cand ajunge la zambila. Bollu, in schimb, atunci cand ajunge in punctul (3, 0), trebuie sa se indrepte spre Nord, pentru ca altfel nu ar ajunge la prima zambila. Cei doi se intalnesc in punctul (3, 1), se bucura de zambila, si isi continua drumul intr-un fel asemanator spre zambila din punctul (5, 3). Practic, aria de iarba taiata pana la prima zambila este aceea a dreptunghiului cu colturile in (0, 0) si (3, 1). Similar, taurii vor taia iarba si din dreptunghiurile (3, 1) - (5, 3), (5, 3) - (6, 3), (6, 3) - (6, 4), (6, 4) - (8, 5), (8, 5) - (9, 6), (9, 6) - (10, 8), rezultand intr-o arie totala de 12.
In al doilea traseu, ariile dreptunghiurilor vizitate sunt, in ordine, 4 + 3 + 0 + 0 + 2 + 1 + 2 = 12.
Bisisica aduna ariile obtinute pentru toate traseele corecte, deci Bisisica = 12 + 12 = 24.
In fisierul bazar.out trebuie afisat restul impartirii acestui numar la 109 + 7. Conform teoremei impartirii cu rest, 24 = 1000000007 * 0 + 24, deci restul este 24.
