Fişierul intrare/ieşire:apm.in, apm.outSursăArhiva educationala
AutorArhiva EducationalaAdăugată demariusdrgdragus marius mariusdrg
Timp execuţie pe test0.4 secLimită de memorie20480 kbytes
Scorul tăuN/ADificultateN/A

Vezi solutiile trimise | Statistici

Arbore partial de cost minim

Se da un graf conex neorientat G cu N noduri si M muchii, fiecare muchie avand asociat un cost. Se cere sa se determine un subgraf care cuprinde toate nodurile si o parte din muchii, astfel incat subgraful determinat sa aiba structura de arbore si suma costurilor muchiilor care il formeaza sa fie minim posibila. Subgraful cu proprietatile de mai sus se va numi arbore partial de cost minim pentru graful dat.

Date de intrare

Fisierul de intrare apm.in va contine pe prima linie numerele N si M, separate printr-un spatiu. Pe urmatoarele M linii se vor gasi muchiile grafului sub forma X Y C, cu semnificatia ca exista muchie neorientata intre X si Y de cost C.

Date de ieşire

Fisierul de iesire apm.out va contine pe prima linie costul arborelui partial de cost minim. Pe a doua linie se va gasi numarul de muchii din arborele partial selectat. Fiecare din urmatoarele linii, pana la sfarsitul fisierului de iesire, va contine cate doua numere naturale, capetele unei muchii ce apartine arborelui solutie. Muchiile pot fi afisate in orice ordine. Daca sunt mai multe solutii corecte se poate afisa oricare.

Restricţii

  • 1 ≤ N ≤ 200 000
  • 1 ≤ M ≤ 400 000
  • -1 000 ≤ C ≤ 1 000
  • Pentru 20% din teste N, M ≤ 20
  • Pentru inca 20% din teste N ≤ 800 si M ≤ 1 500

Exemple

apm.inapm.outapm.inapm.out
9 14
1 2 10
1 3 -11
2 4 11
2 5 11
5 6 13
3 4 10
4 6 12
4 7 5
3 7 4
3 8 5
8 7 5
8 9 4
9 7 3
6 7 11
37
8
3 1
7 9
7 3
9 8
7 4
2 1
5 2
7 6
3 3
1 2 -3
2 3 -4
3 1 -5
-9
2
1 3
3 2

Explicatii

Exemplul 1: Un arbore partial de cost minim pentru graful dat poate fi format din urmatoarele muchii: (7, 3), (7, 4), (7, 9), (7, 6), (9, 8), (1, 3), (1, 2) si (2, 5). Suma costurilor acestor muchii este 37. Solutia nu este neaparat unica.

Exemplul 2: Desi solutia optima ar parea la prima vedere introducerea tuturor celor 3 muchii, acest lucru nu este posibil deoarece s-ar crea un ciclu. Vor fi selectate muchiile (2, 3) si (3, 1).

Indicaţii de rezolvare

O prima idee ar fi generarea tuturor submultimilor de N-1 muchii, verificarea daca muchiile selectate formeaza un arbore si retinerea solutiei optime. Aceasta rezolvare este cea mai evidenta dar are complexitate exponentiala si obtine aproximativ 20 de puncte.
Presupunand ca sunt deja alese N-2 muchii care nu formeaza cicluri, in alte cuvinte formeaza 2 arbori, trebuie sa se mai aleaga inca o muchie, si anume muchia minima care garanteaza conectivitatea arborilor. De la aceasta idee deducem ca cel mai bine ar fi sa adaugam muchii de cost minim, cat timp aceste muchii nu creaza cicluri.
Daca se sorteaza muchiile crescator dupa costul asociat si se parcurg in ordinea sortarii, este mereu util sa adaugam la solutie muchia de cost minim cat timp aceasta nu creaza un ciclu, sau altfel spus, nodurile pe care le uneste nu sunt deja in aceeasi componenta conexa. Aceasta solutie are complexitate O(N*M + Mlog2M), deoarece iterarea prin cele M muchii are complexitate O(M), iar parcurgerea dfs pentru verificarea ciclurilor se realizeaza in timp O(N) la fiecare pas. O astfel de solutie obtine 40-50 de puncte, in functie de implementare, si se poate vedea aici.
Pentru a optimiza solutia de mai sus este suficient la fiecare pas sa verificam daca cele doua noduri pe care le uneste muchia curenta sunt in aceeasi componenta conexa, operatie care se poate realiza in timp O(log*N), cu ajutorul multimilor disjuncte. Astfel complexitatea se reduce la O(Mlog*N + Mlog2M). Acest algoritm este prezentat si aici si se numeste algoritmul lui Kruskal. O implementare pe aceasta idee se gaseste aici.
Pentru a intelege o alta solutie se presupune urmatorul scenariu: existand deja calculat un subarbore minim vrem sa introducem in el inca un nod. Evident vom introduce nodul care are muchia de cost minim care il leaga de subarborele deja format. Aceasta solutie are complexitate O(N*M), deoarece incepem cu un nod aleator si adaugam rand pe rand toate nodurile ramase. Acest algoritm se poate optimiza, daca pentru fiecare nod se tine muchia minima curenta care il leaga de subarborele existent. La fiecare introducere a unui nod in subarbore, se actualizeaza toti vecinii lui. Aceasta solutie are complexitate O(N2) si ar trebui sa obtina 50 puncte. Trebuie in plus precizat ca in cazul in care graful este dens (numarul de muchii M este de ordinul O(N2)) aceasta abordare este de preferat celor cu alte complexitati.
Pentru a se optimiza mai departe algoritmul pentru extragerea minimului se foloseste un heap, iar de fiecare data cand se introduce un nod in subarbore sunt parcurse muchiile incidente cu el si se actualizeaza nodurile vecine. Astfel complexitatea devine O(M*log2N). Algoritmul este cunoscut in literatura de specialitate ca Algoritmul lui Prim. O sursa pe acesta idee se poate vedea aici.

Aplicatii

Trebuie sa te autentifici pentru a trimite solutii. Click aici

Cum se trimit solutii?

remote content