h3. (problema medie, clasele 11-12)

Fie sigma o {$K$}-permutare cu $N$ elemente => pentru orice {$i$}, {$1 ≤ i ≤ N-K$} avem relatiile:
 
* {$sigma{~i~} + sigma{~i~} + ... sigma{~i+K-1~}$} congruent cu $0$ ( mod $K$ )
* {$sigma{~i+1~} + sigma{~i+2~} + ... sigma{~i+K~}$} congruent cu $0$ ( mod $K$ )
 
Scazand cele doua relatii, obtinem $sigma{~i~}$ congruent cu $sigma{~i+K~}$ ( mod {$K$} ).
Fie $N$ = {$C * K + R$}, {$0 &le; r < K$}.
Se observa ca intr-o {$K$}-permutare nu conteaza decat resturile numerelor la impartirea cu $K$, si nu numerele propriu-zise. Deci putem privi o permutare in functie de cate resturi r sunt in permutare, pentru orice {$r$} de la $0$ la {$K-1$}. Se observa ca resturile de la $1$ la $R$ apar de exact {$C+1$} ori, in timp ce toate celelalte resturi apar de exact $C$ ori.
 
I. {$N &ge; 2 * K$}, sau, echivalent {$C &ge; 2$}. Se observa ca in primele $C$ numere din permutarea care constituie o solutie nu putem pune acelasi rest de cel putin $2$ ori. Observatia este evidenta, deoarece, cum avem relatia $sigma{~i~}$ congruent cu $sigma{~i+K~}$ ( mod {$K$} ), atunci restul care ar aparea de 2 ori in primele $C$ numere ar aparea de cel putin {$2*C$} ori ( pe primele {$C*K$} pozitii ), dar avem maxim {$C+1$} resturi disponibile egale, si cum {$2*C &ge; C+1$}, am ajuns la o contradictie.
II. {$K &le; N < 2*K$}. In acest caz, resturile de la $1$ la $R$ apar de $2$ ori fiecare, iar toate celelalte resturi apar o singura data. Cum doar pozitiile de la $R+1$ la $C$ au un rest unic in permutare ( toate celelalte resturi apar pe exact doua pozitii de forma $i$ si $i + K$ ) => pe aceste pozitii trebuie sa punem toate resturile care apar o singura data. Este evident si ca in primele $R$ pozitii trebuie sa punem resturile diferite doua cate doua, pentru ca fiecare rest apare de doua ori si trebuie pus pe doua pozitii.
 
Din ambele cazuri a rezultat ca pentru orice valori ale numerelor $N$ si $K$, o {$K$}-permutare trebuie sa respecte urmatoarele proprietati:
 
* pe primele $K$ pozitii din permutare trebuie sa se gaseasca toate resturile {$0$}, {$1$}, ... {$K-1$}
* resturile de la $1$ la $R$ trebuie sa fie asezate pe primele $R$ pozitii
* pe fiecare pozitie $i$ incepand cu $K+1$ trebuie sa punem un numar care sa aiba restul din impartirea la $K$ egal cu restul impartii numarului de pe pozitia $i-K$ la {$K$}
 
Fie $K$ par, {$K = 2p$}. Cum {$0+1...+(2p-1)$} = {$p*(2p-1)$} si acest numar nu se divide cu {$2p$} pentru ca {$2p-1$} este impar => pentru $K$ par raspunsul este 0.
Pentru $K$ impar, {$K = 2p+1$}, cum {$0+1...+2p$} = {$p*(2p+1)$}, care este dizibil la {$(2p+1)$}, vom construi permutarea astfel:
 
* fixam ordinea primelor $R$ resturi ( in total {$R!$} variante )
* fixam ordinea celorlalte $K-R$ resturi ( in total {$(K-R)!$} variante )
* pentru fiecare rest din primele $R$ sunt $C+1$ pozitii pe care trebuie sa il asezam. Pentru fiecare rest putem pozitiona numerele atasate in {$(C+1)!$} variante, si, cum sunt $R$ resturi, avem {$[(C+1)!]{^R^}$} variante
* pentru toate celelalte resturi sunt $C$ pozitii pe care trebuie sa le asezam. Pentru fiecare rest putem pozitiona numerele atasate in {$(C+1)!$} variante, si, cum sunt $R$ resturi, avem {$[(C+1)!]{^R^}$} variante
 
 

h2. 'Magazin':problema/magazin
h3. (problema grea, clasele 11-12)