h3. (problema grea, clasele 11-12)

Primul pas in rezolvarea problemei este construirea arborelui partial de cost minim a grafului dat in O(M*log~2~M), folosind unul din algoritmii clasici precum Kruskal sau Prim. Se poate demonstra ca  o interogare in graful initial este echivalenta cu o interogare in arborele partial minim. Pentru a determina cea mai mare valoare a unei muchii pe drumul unic din arbore intre nodurile $i$ si $j$ procedam astfel: pentru orice nod $i$ din arbore si pentru orice $j$, fie {$A[i][j]$} = al {$2^j^$}-lea stramos al nodului $i$ in drumul spre radacina ( aleasa aleator la inceput ) si {$B[i ][j]$} = muchia de cost maxim dintre cei {$2^j^$} stramosi ai nodului {$i$}. Precalculand aceste matrici in {$O(N*log~2~ N)$} se poate raspunde la un query in {$O(log^2^ N)$}, mergand inspre radacina simultan din $x$ si $y$ pe stramosi pe baza puterilor lui 2 pana cand intalnim primul nod care este stramos al ambelor noduri. La fiecare pas vom actualiza raspunsul prin compararea cu valorea elementelor corespunzatoare din tabloul $B$.
O solutie si mai simpla de implementat este folosirea arborelui care rezulta in urma algoritmului lui Kruskal, renuntand la euristica de compresie a drumului, si folosind doar euristica dupa rang. Se poate demonstra ca o interogare in arborele partial minim este echivalenta cu o interogare in arborele de multimi disjuncte obtinut din algoritmul lui Kruskal. Cum acest arbore are inaltimea medie {$O(log~2~N)$}, se poate folosi o parcurgere triviala pentru a raspunde la orice query.

Primul pas in rezolvarea problemei este construirea arborelui partial de cost minim a grafului dat in {$O(M*log{~2~}M)$}, folosind unul din algoritmii clasici precum Kruskal sau Prim. Se poate demonstra ca o interogare in graful initial este echivalenta cu o interogare in arborele partial minim. Pentru a determina cea mai mare valoare a unei muchii pe drumul unic din arbore intre nodurile $i$ si $j$ procedam astfel: pentru orice nod $i$ din arbore si pentru orice $j$, fie {$A[i][j]$} = al {$2^j^$}-lea stramos al nodului $i$ in drumul spre radacina ( aleasa aleator la inceput ) si {$B[i][j]$} = muchia de cost maxim dintre cei {$2^j^$} stramosi ai nodului {$i$}. Precalculand aceste matrici in {$O(N*log{~2~}N)$} se poate raspunde la un query in {$O(log{~2~} N)$}, mergand inspre radacina simultan din $x$ si $y$ pe stramosi pe baza puterilor lui 2 pana cand intalnim primul nod care este stramos al ambelor noduri. La fiecare pas vom actualiza raspunsul prin compararea cu valorea elementelor corespunzatoare din tabloul $B$.
O solutie si mai simpla de implementat este folosirea arborelui care rezulta in urma algoritmului lui Kruskal, renuntand la euristica de compresie a drumului, si folosind doar euristica dupa rang. Se poate demonstra ca o interogare in arborele partial minim este echivalenta cu o interogare in arborele de multimi disjuncte obtinut din algoritmul lui Kruskal. Cum acest arbore are inaltimea {$O(log~2~N)$}, se poate folosi o parcurgere triviala pentru a raspunde la orice query.

==Include(page="template/preoni-2007/footer")==