* $A{~i~} = A{~i-1~} + A{~i-3~} + 2$
* $B{~i~} = B{~i-1~} + A{~i-2~}$

Mai facem urmatoarea observatie: {$A{~i~} - B{~i-1~} = (A{~i-1~} + A{~i-3~} + 2) - (B{~i-2~} + A{~i-3~}) = A{~i-1~} - B{~i-2~} + 2$}, ceea ce inseamna ca {$A{~i~} - B{~i-1~} = 2 * (i - 1)$} (demonstratie prin inductie, tinand cont de faptul ca {$A{~2~} + B{~1~} = 2$}).

Mai facem urmatoarea observatie: {$A{~i~} - B{~i-1~} = (A{~i-1~} + A{~i-3~} + 2) - (B{~i-2~} + A{~i-3~}) = A{~i-1~} - B{~i-2~} + 2$}, ceea ce inseamna ca {$A{~i~} - B{~i-1~} = 2 * (i - 1)$} (demonstratie prin inductie, tinand cont de faptul ca {$A{~2~} - B{~1~} = 2$}).

In sfarsit, sa calculam sirul {$T{~i~} = A{~i~} + B{~i~}$}.
{$T{~i~} = A{~i~} + B{~i~} = A{~i-1~} + A{~i-3~} + 2 + B{~i-1~} + A{~i-2~} = (A{~i-1~} + A{~i-3~}) + (B{~i-1~} + B{~i-3~}) + (A{~i-2~} - B{~i-3~}) + 2 = T{~i-1~} + T{~i-3~} + (A{~i-2~} - B{~i-3~}) + 2$}. Dupa cum am observat mai devreme $A{~i-2~} - B{~i-3~} = 2 * (i - 3)$ => {$T{~i~} = T{~i-1~} + T{~i-3~} + 2 * (i - 2)$}, ceea ce ne propusesem sa demonstram.