h3. Pascal

Ca sa calculam puterea la care apare factorul prim $p$ in descompunerea lui $n!$ se poate folosi urmatoare formula $f = [n/p] + [n/p^2^] + [n/p^3^] +$ ... ({$[]$} reprezinta partea intrega). Avand acesta formula putem traversa un anumit rand din triunghiul lui Pascal si pt fiecare element ({$r,c$}) putem calcula puterea la care apare $d$ in descompunerea lui $r ! / ((r-c) ! * c!)$ . Atunci cand $d$ nu este prim trebuie sa avem grija sa verificam daca respectivul element ({$r,c$}) are in descompunerea sa toti factori primi a lui {$d$}. Daca $d=6$ , elementul din ({$r,c$}) trebuie sa contina $2$ si $3$ in descompunerea sa, iar daca {$d = 4$}, trebuie sa contina $2$ de cel putin doua ori.

Ca sa calculam puterea la care apare factorul prim $p$ in descompunerea lui $n!$ se poate folosi urmatoare formula $f = [n/p] + [n/p^2^] + [n/p^3^] +$ ... ({$[]$} reprezinta partea intrega). Avand acesta formula putem traversa un anumit rand din triunghiul lui Pascal si pt fiecare element ({$r,c$}) putem calcula puterea la care apare $d$ in descompunerea lui $r! / ((r-c)! * c!)$ . Atunci cand $d$ nu este prim trebuie sa avem grija sa verificam daca respectivul element ({$r,c$}) are in descompunerea sa toti factori primi a lui {$d$}. Daca $d = 6$ , elementul din ({$r,c$}) trebuie sa contina $2$ si $3$ in descompunerea sa, iar daca {$d = 4$}, trebuie sa contina $2$ de cel putin doua ori.

O alta modalitate sa calculam puterea la care apare un factor prim $p$ in descompunerea lui este: fie {$A{~c~}$} = puterea la care apare $p$ in decompunrea lui ({$r,c$}). $A{~c+1~}$ = {$A{~c~}$} + puterea lui $p$ in ({$r-c$}) - puterea lui $p$ in ({$c+1$}). Acesta relatie se poate deduce din modul din care putem calcula elementul ({$r,c+1$}) din ({$r,c$}) folosind formula ({$r,c$}) = $r ! / ((r-c)! * c !)$

O alta modalitate sa calculam puterea la care apare un factor prim $p$ in descompunerea lui este: fie {$A{~c~}$} = puterea la care apare $p$ in decompunerea lui ({$r,c$}). $A{~c+1~}$ = {$A{~c~}$} + puterea lui $p$ in ({$r-c$}) - puterea lui $p$ in ({$c+1$}). Acesta relatie se poate deduce din modul din care putem calcula elementul ({$r,c+1$}) din ({$r,c$}) folosind formula ({$r,c$}) = $r! / ((r-c)! * c!)$

Aceasta a fost cea mai simpla problema de la clasele {$9-10$}, oricare din cele doua idei prezentate mai sus aducand punctaj maxim.

== code(cpp) |Cnt[i][cmmdc(j, A[i])] = Cnt[i - 1][j] + Cnt[i - 1][cmmdc(j, A[i])]
==

Odata calculate aceste valori solutia o vom avea in {$Cnt{@[@}N{@][@}1{@]@}$}. Numerele depasesc orice tip de date predefinit si trebuie utilizate numere mari. Limitele fiind destul de mari, folosirea bazei $10$ este periculoasa, pe unele teste fiind necesar folosirea bazei $10^9^$ pentru a reduce timpul de executie. De asemenea si memoria se poate reduce, observand faptul ca pentru a calcula {$Cnt{@[@}i{@][@}j{@]@}$} ne sunt necesare doar valorile pentru {$Cnt{@[@}i-1{@][@}k{@]@}$} (ultima doua linii). Complexitatea acestei solutiei va fi $O(N * K * L)$ unde $K$ reprezinta valoarea maxima din sir si $L$ lungimea maxima a numerelor mari.

Odata calculate aceste valori solutia o vom avea in {$Cnt{@[@}N{@][@}1{@]@}$}. Numerele depasesc orice tip de date predefinit si trebuie utilizate numere mari. Limitele fiind destul de mari, folosirea bazei $10$ este periculoasa, pe unele teste fiind necesar folosirea bazei $10^9^$ pentru a reduce timpul de executie. De asemenea si memoria se poate reduce, observand faptul ca pentru a calcula {$Cnt{@[@}i{@][@}j{@]@}$} ne sunt necesare doar valorile pentru {$Cnt{@[@}i-1{@][@}k{@]@}$} (ultimele doua linii). Complexitatea acestei solutiei va fi $O(N * K * L)$ unde $K$ reprezinta valoarea maxima din sir si $L$ lungimea maxima a numerelor mari.

h4. Solutia 2