h2(#intro). Introducere

Domeniu relativ nou şi încã necercetat în adâncime, _teoria jocurilor_ este o ramurã a matematicii în care de multe ori primeazã inventivitatea şi nu cunoştinţele. Tocmai din acest motiv, în cadrul acestui articol vom introduce câteva noţiuni teoretice care ne vor ajuta în rezolvarea uner probleme din teoria jocurilor.

Domeniu relativ nou şi încã necercetat în adâncime, _teoria jocurilor_ este o ramurã a matematicii în care de multe ori primeazã inventivitatea şi nu cunoştinţele. Tocmai din acest motiv, în cadrul acestui articol vom introduce câteva noţiuni teoretice care ne vor ajuta în rezolvarea unor probleme din teoria jocurilor.

Ingeniozitatea celor pasionaţi poate fi testatã prin introducerea unor probleme de teoria jocurilor la concursurile de matematicã şi informaticã. Deoarece în România, teoria jocurilor nu este studiatã în şcoli, problemele din acest domeniu pot pune în dificultate concurenţii.

h4. Soluţie

* Pentru cazul trivial în care numãrul de grãmezi este egal cu 1, primul jucator are evident strategie de câştig, el putând lua toate pietrele din grãmadã.
* Dacã numãrul de grãmezi este egal cu 2, primul jucãtor are strategie de câştig atunci când numãrul de pietre din prima grãmadã este diferit de numãrul de pietre din cea de-a doua, strategia lui fiind cea de a aduce tot timpul grãmada mai mare la numãrul de pietre al grãmezii mai mici, şi cum jocul este finit, înseamnã cã primul jucãtor o sã aducã jocul în starea (0, 0).
* Dacã numãrul de grãmezi este mai mare decât doi strategia se complicã şi nu se mai observã cu "ochiul liber". Stãrile câştigãtoare pentru mai multe grãmezi sunt acele stãri pentru care suma _XOR_ a numerelor de pietre din grãmezi este diferitã de 0, restul stãrilor fiind de pierdere.

* Pentru cazul trivial în care numãrul de grãmezi este egal cu $1$, primul jucator are evident strategie de câştig, el putând lua toate pietrele din grãmadã.
* Dacã numãrul de grãmezi este egal cu $2$, primul jucãtor are strategie de câştig atunci când numãrul de pietre din prima grãmadã este diferit de numãrul de pietre din cea de-a doua, strategia lui fiind cea de a aduce tot timpul grãmada mai mare la numãrul de pietre al grãmezii mai mici, şi cum jocul este finit, înseamnã cã primul jucãtor o sã aducã jocul în starea $(0, 0)$.
* Dacã numãrul de grãmezi este mai mare decât doi strategia se complicã şi nu se mai observã cu "ochiul liber". Stãrile câştigãtoare pentru mai multe grãmezi sunt acele stãri pentru care suma $XOR$ a numerelor de pietre din grãmezi este diferitã de $0$, restul stãrilor fiind de pierdere.

De exemplu, dacã avem o gramadã cu o piatrã, o gramadã cu trei pietre, o gramadã cu cinci pietre şi o gramadã cu şapte pietre:

oooooo
Atunci vom avea:

1 = (0001){~2~}
3 = (0011){~2~}
5 = (0101){~2~}
7 = (0111){~2~}

$1 = (0001){~2~}$
$3 = (0011){~2~}$
$5 = (0101){~2~}$
$7 = (0111){~2~}$

Efectuând '_XOR_':http://www.fredosaurus.com/notes-cpp/expressions/bitops.html (operatorul ^ în C/C++) între reprezentãrile binare ale numerelor  obţinem 0 = (0000){~2~}. Conform propoziţiei de mai sus aceastã stare este de pierdere.

Efectuând '$XOR$':http://www.fredosaurus.com/notes-cpp/expressions/bitops.html (operatorul ^ în C/C++) între reprezentãrile binare ale numerelor  obţinem $0 = (0000){~2~}$. Conform propoziţiei de mai sus aceastã stare este de pierdere.

Sã demonstrãm cele afirmate. Dintr-o poziţie cu suma _XOR_ egalã cu 0, pentru orice mutare ajungem evident la o poziţie cu suma _XOR_ diferitã de 0, pentru cã luând dintr-o grãmadã un numãr _x_ de pietre, în suma _XOR_ corespunzãtoare noii stãri bitul cel mai semnificativ al lui _x_ va avea valoarea 1.

Sã demonstrãm cele afirmate. Dintr-o poziţie cu suma $XOR$ egalã cu $0$, pentru orice mutare ajungem evident la o poziţie cu suma $XOR$ diferitã de $0$, pentru cã luând dintr-o grãmadã un numãr $x$ de pietre, în suma $XOR$ corespunzãtoare noii stãri bitul cel mai semnificativ al lui $x$ va avea valoarea $1$.

Mai rãmâne de demonstrat cã din orice poziţie cu suma _XOR_ diferitã de 0 putem trece printr-o mutare convenabilã într-o poziţie cu suma _XOR_ egalã cu 0. Cãutãm o grãmadã care are un numãr de pietre mai mare sau egal cu cea mai mare putere a lui 2 care apare în suma _XOR._ Fie _x_ valoarea sumei _XOR_ a tuturor grãmezilor şi _y_ numãrul de pietre din grãmada gãsitã mai devreme. O mutare "câştigãtoare" este extragerea din grãmada gãsitã care are _y_ pietre a {_y - (x XOR y)_} pietre ({_x XOR y_} este mai mic decât _y_ pentru cã se anuleazã biţii cei mai semnificativi ai lui _y_ şi {_x_}). Atunci noua sumã _XOR_ va fi egalã cu 0.

Mai rãmâne de demonstrat cã din orice poziţie cu suma $XOR$ diferitã de $0$ putem trece printr-o mutare convenabilã într-o poziţie cu suma $XOR$ egalã cu $0$. Cãutãm o grãmadã care are un numãr de pietre mai mare sau egal cu cea mai mare putere a lui $2$ care apare în suma $XOR$. Fie $x$ valoarea sumei $XOR$ a tuturor grãmezilor şi $y$ numãrul de pietre din grãmada gãsitã mai devreme. O mutare "câştigãtoare" este extragerea din grãmada gãsitã care are $y$ pietre a {$y - (x XOR y)$} pietre ({$x XOR y$} este mai mic decât $y$ pentru cã se anuleazã biţii cei mai semnificativi ai lui $y$ şi $x$). Atunci noua sumã $XOR$ va fi egalã cu $0$.

De exemplu:

%{color:gray}4{@ ^ 8 ^ @}17 = (00100){~2~}{@ ^ @}(01000){~2~}{@ ^ @}(10001){~2~} = (11101){~2~} = 29%.

$4{@ ^ 8 ^ @}17 = (00100){~2~}{@ ^ @}(01000){~2~}{@ ^ @}(10001){~2~} = (11101){~2~} = 29$.

Mutarea câştigãtoare constã în a lua din cea de-a treia gramadã un numãr de pietre egal cu:

%{color:gray}17 - (17 @^ 29) = 17 - 17 ^@ 29 = 5 = (00101){~2~}%.

$17 - (17 @^ 29) = 17 - 17 ^@ 29 = 5 = (00101){~2~}$.

Dupã acest pas grãmezile vor avea 4, 8, 12 pietre. Ne aflãm astfel într-o stare cu suma _XOR_ egalã cu 0.

Dupã acest pas grãmezile vor avea $4$, $8$, $12$ pietre. Ne aflãm astfel într-o stare cu suma $XOR$ egalã cu $0$.

_Pe o tablã de şah, care are n • m cãsuţe, sunt plasaţi pe prima linie n pioni albi şi pe ultima linie n pioni negri. Fiecare dintre cei doi jucãtori poate muta un singur pion, care îi aparţine, un numãr strict pozitiv de cãsuţe în sus sau în jos, astfel încât sã nu ajungã vreun pion alb sã fie mai jos decât pionul negru de pe aceeaşi coloanã. Pierde jucãtorul care nu mai poate muta._

Aceastã problemã este o deghizare a jocului _NIM,_ numãrul de pãtrãţele libere între pionul alb şi pionul negru de pe coloana _i_ putând fi considerat numãrul de pietre din grãmada _i._ Singura diferenţã este cã se pot adãuga pietre la grãmadã (existând posibilitatea mutãrii înapoi).

Aceastã problemã este o deghizare a jocului $NIM$, numãrul de pãtrãţele libere între pionul alb şi pionul negru de pe coloana $i$ putând fi considerat numãrul de pietre din grãmada $i$. Singura diferenţã este cã se pot adãuga pietre la grãmadã (existând posibilitatea mutãrii înapoi).

Aceastã problemã se rezolvã uşor, jucãtorul care are strategie de câştig putând evita asemenea mutãri. O astfel de mutare poate fi utilã numai pentru jucãtorul care este întro poziţie de pierdere.

Când jucatorul care nu are strategie de câştig mutã înapoi _x_ casuţe, celãlalt jucãtor va muta pionul propriu de pe aceeaşi coloanã cu _x_ cãsuţe în faţã, astfel ajungându-se la aceeaşi stare cu cea existentã cu douã mutãri anterior (considerând diferenţa poziţiilor).

Când jucatorul care nu are strategie de câştig mutã înapoi $x$ casuţe, celãlalt jucãtor va muta pionul propriu de pe aceeaşi coloanã cu $x$ cãsuţe în faţã, astfel ajungându-se la aceeaşi stare cu cea existentã cu douã mutãri anterior (considerând diferenţa poziţiilor).

h3. Problema 2

_Pe o linie sunt plasate la coordonate întregi 2 • n piese roşii şi albastre. Fiecare piesã roşie poate fi mutatã în dreapta oricâte poziţii astfel încât sã nu sarã peste o piesã albastrã, iar piesele albastre pot fi mutate oricâte poziţii la stânga astfel încât sã nu depãşeascã vreo piesã roşie. Piesele vor alterna: roşu, albastru, roşu, albastru etc. Pierde jucãtorul care nu mai poate muta._

Aceastã problemã poate fi, de asemenea, redusã la jocul _NIM._ Diferenţele poziţiilor perechilor de piese roşii şi albastre consecutive constituie numãrul de pietre al grãmezilor din jocul _NIM._

Aceastã problemã poate fi, de asemenea, redusã la jocul $NIM$. Diferenţele poziţiilor perechilor de piese roşii şi albastre consecutive constituie numãrul de pietre al grãmezilor din jocul $NIM$.

h3. Problema 3 _(El Judge MIPT online programming contest Nim Game Give Away!)_
_Se considerã n grãmezi de pietre, jucãtorii mutã alternativ, fiecare jucãtor extrãgând oricâte pietre dintr-o singurã grãmadã. Cel care ia ultima piatrã pierde jocul._

Strategia acestui joc este similarã cu cea aplicatã în jocul _NIM_ cu câteva mici diferenţe. Jucãtorul care are strategie de câştig în poziţia curentã în cadrul jocului _NIM_ face aceeaşi mutare pe care ar face-o în cazul jocului _NIM,_ exceptând cazul în care aceastã mutare lasã doar grãmezi cu o singurã piatrã şi numãrul acestor grãmezi este par.  În aceastã situaţie, dacã ar trebui sã ia _x_ pietre, jucãtorul poate lua _x - 1_ pietre din grãmada actualã, pentru ca numãrul de grãmezi sã fie impar şi el sã facã ultima mutare.

Strategia acestui joc este similarã cu cea aplicatã în jocul $NIM$ cu câteva mici diferenţe. Jucãtorul care are strategie de câştig în poziţia curentã în cadrul jocului $NIM$ face aceeaşi mutare pe care ar face-o în cazul jocului $NIM$, exceptând cazul în care aceastã mutare lasã doar grãmezi cu o singurã piatrã şi numãrul acestor grãmezi este par.  În aceastã situaţie, dacã ar trebui sã ia $x$ pietre, jucãtorul poate lua $x - 1$ pietre din grãmada actualã, pentru ca numãrul de grãmezi sã fie impar şi el sã facã ultima mutare.

h2(#nsg). Numerele Sprague Grundy
Jocurile care prezintã interes pentru jucãtori sunt acelea care necesitã examinarea unui numãr foarte mare de stãri pentru determinarea strategiei de câştig, deoarece în caz contrar câştigãtorul s-ar cunoaşte chiar de la început. Spre deosebire de aceştia, matematicienii sau informaticienii sunt interesaţi de determinarea unor strategii pentru astfel de jocuri.

Toate jocurile imparţiale cu doi jucãtori cu informaţie totalã pot fi reduse la jocul _*NIM*_ care se joacã cu nişte grãmezi virtuale, în care mutãrile posibile sunt extragerea oricâtor pietre dintr-o grãmadã sau adãugarea oricâtor pietre la o grãmadã (aşa cum am menţionat anterior, adãugarea de pietre la o grãmadã nu complicã analiza jocului).

Toate jocurile imparţiale cu doi jucãtori cu informaţie totalã pot fi reduse la jocul *$NIM$* care se joacã cu nişte grãmezi virtuale, în care mutãrile posibile sunt extragerea oricâtor pietre dintr-o grãmadã sau adãugarea oricâtor pietre la o grãmadã (aşa cum am menţionat anterior, adãugarea de pietre la o grãmadã nu complicã analiza jocului).

Afirmaţia anterioarã constituie un rezultat al *Teoriei Sprague-Grundy. _Roland Percival Sprague_* (1936) şi _*Patrick Michael Grundy*_ (1939) sunt doi matematicieni care s-au ocupat, independent, de teoria jocurilor imparţiale.

_Se considerã un graf aciclic care conţine în noduri câţiva pioni, jucãtorii alterneazã la mutare şi fiecare poate muta câte un pion pe un arc care iese din nodul în care este situat pionul. Pierde jucãtorul care nu poate muta._

Cum graful este aciclic, jocul este finit şi are întotdeauna un câştigãtor. Practic, acest joc este suma unor jocuri, mai precis suma a mai multor jocuri cu un singur pion pe graful aciclic. Jocul cu un singur pion poate fi analizat destul de uşor, fiecare nod al grafului putând fi colorat cu alb sau negru dupã cum existã sau nu strategie de câştig dacã în nodul curent ar fi poziţionat pionul. Aceastã colorare poate fi realizatã uşor dacã se porneşte de la nodurile fãrã urmaş şi la fiecare pas se coloreazã câte un nod ai cãrui urmaşi sunt deja coloraţi. Orice joc imparţial poate fi redus la un joc cu un singur pion. Nodurile sunt poziţiile jocului şi arcele grafului sunt mutãrile posibile din fiecare poziţie. Jocul iniţial poate fi şi el transformat, dar numãrul de noduri creşte foarte mult (pentru _n_ pioni şi _m_ noduri, numãrul de noduri din jocul transformat este {_n^m^_}) şi nu este practic sã colorãm graful rezultat. Folosind teoria dezvoltatã de Sprague şi Grundy, putem reduce complexitatea analizei jocului cu _n_ pioni la complexitatea analizei jocului cu un pion.

Cum graful este aciclic, jocul este finit şi are întotdeauna un câştigãtor. Practic, acest joc este suma unor jocuri, mai precis suma a mai multor jocuri cu un singur pion pe graful aciclic. Jocul cu un singur pion poate fi analizat destul de uşor, fiecare nod al grafului putând fi colorat cu alb sau negru dupã cum existã sau nu strategie de câştig dacã în nodul curent ar fi poziţionat pionul. Aceastã colorare poate fi realizatã uşor dacã se porneşte de la nodurile fãrã urmaş şi la fiecare pas se coloreazã câte un nod ai cãrui urmaşi sunt deja coloraţi. Orice joc imparţial poate fi redus la un joc cu un singur pion. Nodurile sunt poziţiile jocului şi arcele grafului sunt mutãrile posibile din fiecare poziţie. Jocul iniţial poate fi şi el transformat, dar numãrul de noduri creşte foarte mult (pentru $n$ pioni şi $m$ noduri, numãrul de noduri din jocul transformat este {$n^m^$}) şi nu este practic sã colorãm graful rezultat. Folosind teoria dezvoltatã de Sprague şi Grundy, putem reduce complexitatea analizei jocului cu $n$ pioni la complexitatea analizei jocului cu un pion.

Vom introduce funcţia _*mex*_ cu semnificaţia: _mex(S)_ este elementul minimal natural care nu aparţine mulţimii _S._ Pentru fiecare nod _x_ al grafului aciclic considerat, vom calcula valoarea funcţiei %{color:gray} _gx_ = mex({_gx{~1~}_}, {_gx{~2~}_}, …, {_gx{~k~}_})%, unde _x{~1~}, x{~2~}, …, x{~k~}_ sunt urmaşii nodului _x_ în graf. Pentru nodurile fãrã urmaşi _gx_ = 0.

Vom introduce funcţia *$mex$* cu semnificaţia: $mex(S)$ este elementul minimal natural care nu aparţine mulţimii $S$. Pentru fiecare nod $x$ al grafului aciclic considerat, vom calcula valoarea funcţiei %{color:gray} $gx = mex(gx{~1~}, gx{~2~}, …, gx{~k~})$%, unde $x{~1~}$, $x{~2~}$, …, $x{~k~}$ sunt urmaşii nodului $x$ în graf. Pentru nodurile fãrã urmaşi $gx = 0$.

Analog jocului cu un singur pion, graful poate fi etichetat din aproape în aproape, pornind de la nodurile fãrã urmaşi. Observãm cã, dacã _gx_ = 0 în jocul cu un singur pion situat în nodul _x_ nu avem strategie de câştig, iar dacã _gx_ este diferit de 0 avem strategie de câştig. Restul informaţiei ne ajutã la determinarea unei strategii pentru jocul cu _n_ pioni. Observãm cã putem reduce acest joc la jocul _NIM_ în care grãmada virtualã asociatã pionului _i_ are un numãr de pietre egal cu valoarea _g_ a nodului în care este situat pionul _i._

Analog jocului cu un singur pion, graful poate fi etichetat din aproape în aproape, pornind de la nodurile fãrã urmaşi. Observãm cã, dacã $gx = 0$ în jocul cu un singur pion situat în nodul $x$ nu avem strategie de câştig, iar dacã $gx$ este diferit de $0$ avem strategie de câştig. Restul informaţiei ne ajutã la determinarea unei strategii pentru jocul cu $n$ pioni. Observãm cã putem reduce acest joc la jocul $NIM$ în care grãmada virtualã asociatã pionului $i$ are un numãr de pietre egal cu valoarea $g$ a nodului în care este situat pionul $i$.

h4. _De ce este acest joc echivalent cu jocul NIM?_

Aşa cum la _NIM_ puteam lua oricâte pietre dintr-o grãmadã, aici putem muta pionul dintr-un nod cu valoarea _g_ într-un nod astfel încât noua valoare pentru pionul _i_ poate fi orice numãr de la 0 la _g - 1._ Prin urmare, pentru a verifica dacã suntem într-o poziţie de câştig în jocul cu pionii, putem aplica strategia jocului _NIM_ şi obţinem cã suntem într-o poziţie de câştig dacã suma _XOR_ a numerelor din nodurile ocupate de cei _n_ pioni este diferitã de 0. Aceastã sumã se numeşte funcţia _Sprague Grundy,_ %{color:gray} {_SG_}({_i{~1~}_}, …, {_i{~n~}_}) = {_gi{~1~}_} {@^@} _gi{~2~}_ {@^@} _gi{~3~}_ {@^ … ^@} {_gi{~n~}_}%.

Aşa cum la $NIM$ puteam lua oricâte pietre dintr-o grãmadã, aici putem muta pionul dintr-un nod cu valoarea $g$ într-un nod astfel încât noua valoare pentru pionul $i$ poate fi orice numãr de la $0$ la $g - 1$. Prin urmare, pentru a verifica dacã suntem într-o poziţie de câştig în jocul cu pionii, putem aplica strategia jocului $NIM$ şi obţinem cã suntem într-o poziţie de câştig dacã suma $XOR$ a numerelor din nodurile ocupate de cei $n$ pioni este diferitã de $0$. Aceastã sumã se numeşte funcţia _Sprague Grundy,_ %{color:gray}$SG(i{~1~}$, …, $i{~n~}) = gi{~1~} {@^@} gi{~2~} {@^@} gi{~3~} {@^ … ^@} gi{~n~}%.

Problema de la runda 47 ({_Pioni_}) se rezolvã acum uşor efectuând o sortare topologicã a nodurilor grafului aciclic şi numerotând nodurile folosind funcţia _mex._

Problema de la runda 47 ({_Pioni_}) se rezolvã acum uşor efectuând o sortare topologicã a nodurilor grafului aciclic şi numerotând nodurile folosind funcţia $mex$.

h2(#probleme2). Probleme care se pot rezolva folosind numerele Sprague Grundy

h3. Problema 4
Problema Joc a rundei 13 a concursului de programare Bursele Agora putea fi rezolvatã în acest mod.

În acea problemã se cerea sã verificãm existenţa unei strategii de câştig pentru un joc similar cu _NIM_ în care se putea lua dintr-o grãmadã o piatrã sau un numãr prim de pietre.

În acea problemã se cerea sã verificãm existenţa unei strategii de câştig pentru un joc similar cu $NIM$ în care se putea lua dintr-o grãmadã o piatrã sau un numãr prim de pietre.

Dacã determinãm valorile _Sprague Grundy_ pentru grãmezi de dimensiuni mici putem observa cã se repeta o succesiune de numere: 0 1 2 3 0 1 2 3 …

Dacã determinãm valorile _Sprague Grundy_ pentru grãmezi de dimensiuni mici putem observa cã se repeta o succesiune de numere: $0 1 2 3 0 1 2 3 …$

Putem demonstra prin inducţie cã aceastã secvenţã se va repeta la nesfârşit.

Pentru o grãmadã de dimensiune _n_ valoarea asociatã va fi _n modulo 4._ Pentru 0 ≤ n ≤ 3 afirmaţia este adevãratã. Vom presupune afirmaţia adevãratã pentru toate valorile _m_ < _n._ Sã demonstrãm acum cã este adevãratã şi pentru _n._ Deoarece putem lua din _n_ pietre una, douã sau trei pietre, mai rãmâne valoarea _n modulo 4_ care nu este eliminată încã din valorile potenţiale asociate grãmezii de dimensiune _n._ Vom arãta în continuare cã aceastã valoare nici nu va fi eliminatã. Eliminarea ei ar însemna cã putem lua din _n_ un numãr _p_ de pietre şi atunci din _(n - p) modulo 4 = n modulo 4,_ am avea: _p modulo 4 = 0,_ dar _p_ este un numãr prim, deci valoarea _Sprague Grundy_ asociatã unei grãmezi de dimensiune _n_ este _n modulo 4._

Pentru o grãmadã de dimensiune $n$ valoarea asociatã va fi $n modulo 4$. Pentru $0 ≤ n ≤ 3$ afirmaţia este adevãratã. Vom presupune afirmaţia adevãratã pentru toate valorile $m < n$. Sã demonstrãm acum cã este adevãratã şi pentru $n$. Deoarece putem lua din $n$ pietre una, douã sau trei pietre, mai rãmâne valoarea $n modulo 4$ care nu este eliminată încã din valorile potenţiale asociate grãmezii de dimensiune $n$. Vom arãta în continuare cã aceastã valoare nici nu va fi eliminatã. Eliminarea ei ar însemna cã putem lua din $n$ un numãr $p$ de pietre şi atunci din $(n - p) modulo 4 = n modulo 4$, am avea: $p modulo 4 = 0$, dar $p$ este un numãr prim, deci valoarea _Sprague Grundy_ asociatã unei grãmezi de dimensiune $n$ este $n modulo 4$.

h3. Problema 5 _(El Judge MIPT online programming contest, Stone game)_

_Restricţii: k ≤ 50, n{~i~} ≤ 10200._
Sã determinãm valorile Sprague Grundy pentru grãmezi mici:

%{color:gray}0 : 0;    1 : 1;    2 : 2;    3 : 0;    4 : 1;    5 : 2;    6 : 0 %
Observãm şi aici secvenţa repetitivã 0 1 2 0 1 2, deci am putea trage concluzia cã valoarea _Sprague Grundy_ asociatã unei grãmezi de dimensiune _n_ este _n modulo 3._ Aceastã afirmaţie este adevaratã şi urmeazã aceeaşi demonstraţie ca în cazul problemei anterioare, iar restul modulo 3 pentru _n_ numãr cu 200 de cifre este simplu de gãsit determinând suma cifrelor numãrului.

%{color:gray}$0 : 0;    1 : 1;    2 : 2;    3 : 0;    4 : 1;    5 : 2;    6 : 0$ %
Observãm şi aici secvenţa repetitivã $0 1 2 0 1 2$, deci am putea trage concluzia cã valoarea _Sprague Grundy_ asociatã unei grãmezi de dimensiune $n$ este $n modulo 3$. Aceastã afirmaţie este adevaratã şi urmeazã aceeaşi demonstraţie ca în cazul problemei anterioare, iar restul $modulo 3$ pentru $n$ numãr cu 200 de cifre este simplu de gãsit determinând suma cifrelor numãrului.

h3. Problema 6 _(El Judge MIPT online programming contest, Stone game II)_
_Se considerã k grãmezi de pietre cu n{~1~}, n,{~2~} …, n{~k~} pietre. Un jucãtor poate lua dintr-o grãmadã la mutarea lui un numãr pozitiv de pietre dar nu mai mult de jumãtate din pietrele din grãmadã. Jucãtorul care nu mai poate muta pierde._
_Restricţii: k ≤ 50, n{~i~} ≤ 100000._

Numãrul 100000 nu este foarte mare şi valorile _Sprague Grundy_ pot fi determinate _off-line_ şi incluse în programul nostru ca şi constante. Putem scrie pentru valori mici secvenţa _Sprague Grundy:_
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
0 1 0 2 1 3 0 4 2  5  1  6  3  7
Pentru _n_ impar valoarea asociatã este aceeaşi cu valoarea asociatã lui _n/2,_ şi pentru _n_ par valoarea asociatã este _n/2._ Acest lucru se poate demonstra prin inducţie matematicã.

Numãrul $100000$ nu este foarte mare şi valorile _Sprague Grundy_ pot fi determinate _off-line_ şi incluse în programul nostru ca şi constante. Putem scrie pentru valori mici secvenţa _Sprague Grundy:_
$1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14$
$0 1 0 2 1 3 0 4 2  5  1  6  3  7$
Pentru $n$ impar valoarea asociatã este aceeaşi cu valoarea asociatã lui $n/2$, şi pentru $n$ par valoarea asociatã este $n/2$. Acest lucru se poate demonstra prin inducţie matematicã.

h3. Problema 7 _(CEOI 2000, Cluj-Napoca, problema Sticks)_
_Se considerã n (n ≤ 10) rânduri de beţe pe o masã, cu S{~i~} (S{~i~} ≤ 10) beţe aliniate pe fiecare rând şi doi jucãtori. Beţele de pe rândul i sunt numerotate secvenţial de la 1 la S{~i~}. Cei doi jucãtori mutã alternativ. Fiecare mişcare constã în eliminarea a unu, douã sau trei beţe de pe acelaşi rând. Beţele trebuie sã fie numerotate secvenţial, adicã sã fie consecutive. De exemplu, un rând are 10 beţe şi primul jucãtor eliminã beţele 4, 5, 6, deci vor rãmâne numai beţele 1, 2, 3, 4, 8, 9, 10. Al doilea jucãtor poate lua la rândul sãu beţele 1, 2, 3, dar nu beţele 3, 7, 8 pentru cã acestea nu sunt numerotate consecutiv (bineînţeles cã existã şi alte mutãri valide). Câştigã jucãtorul care ia ultimul bãţ de pe masã._

Problema generalã are o soluţie ingenioasã care ţine seama de paritãţile rândurilor, dar la aceastã problemã, datoritã mãrginirii lui _S{~i~}_ ({_S{~i~}_} ≤ 10) nu este necesar sã fim ingenioşi. Restricţia _S{~i~}_ ≤10, ne ajutã prin faptul cã numãrul total de poziţii (dacã jucãm pe o singurã gramadã), este 2^10^. Vom reprezenta o poziţie printr-un întreg, iar dacã acel întreg are în codificarea lui binarã pe poziţia _i_ un bit de 1 înseamnã cã el reprezintã un rând de beţe care conţine în el bãţul numerotat cu _i._ Este uşor de realizat un graf aciclic al mişcãrilor pentru un rând (graful este aciclic pentru cã la fiecare mutare luãm beţe din configuraţie). Numerotãm fiecare poziţie cu numerele _Sprague Grundy,_ şi acum problema deciderii dacã suntem sau nu într-o poziţie câştigãtoare devine banalã. În problema iniţialã trebuia sã jucãm împotriva calculatorului şi sã câştigãm. Putem realiza aceasta folosind mutarea câştigãtoare prezentatã la jocul _NIM._

Problema generalã are o soluţie ingenioasã care ţine seama de paritãţile rândurilor, dar la aceastã problemã, datoritã mãrginirii lui $S{~i~}$ ({$S{~i~} ≤ 10$}) nu este necesar sã fim ingenioşi. Restricţia $S{~i~} ≤ 10$, ne ajutã prin faptul cã numãrul total de poziţii (dacã jucãm pe o singurã gramadã), este $2^10^$. Vom reprezenta o poziţie printr-un întreg, iar dacã acel întreg are în codificarea lui binarã pe poziţia $i$ un bit de 1 înseamnã cã el reprezintã un rând de beţe care conţine în el bãţul numerotat cu $i$. Este uşor de realizat un graf aciclic al mişcãrilor pentru un rând (graful este aciclic pentru cã la fiecare mutare luãm beţe din configuraţie). Numerotãm fiecare poziţie cu numerele _Sprague Grundy,_ şi acum problema deciderii dacã suntem sau nu într-o poziţie câştigãtoare devine banalã. În problema iniţialã trebuia sã jucãm împotriva calculatorului şi sã câştigãm. Putem realiza aceasta folosind mutarea câştigãtoare prezentatã la jocul $NIM$.

h3. Problema 8

_În fişierul de intrare se va afla numãrul N (1 ≤ N ≤ 100) de tablete, iar pe urmãtoarea linie sunt N perechi de numere întregi care reprezintã dimensiunile tabletelor._
_În fişierul de ieşire se va afla un singur numãr întreg reprezentând numãrul mutãrilor câştigãtoare pentru primul jucãtor._

Pentru aceastã problemã vom calcula matricea _SG{~i,j~}_ care reprezintã valoarea _Sprague-Grundy_ asociatã unei tablete de dimensiuni ({_i_}, {_j_}). Sã vedem care este recurenţa care va satisface elementele matricei _SG:_

Pentru aceastã problemã vom calcula matricea $SG{~i,j~}$ care reprezintã valoarea _Sprague-Grundy_ asociatã unei tablete de dimensiuni ($i$, $j$). Sã vedem care este recurenţa care va satisface elementele matricei $SG$:

_SG{~i,j~}_ = mex({_SG{~i,k~}_} ^ _SG{~i,j-k~},_ (1 ≤ _k_ < {_j_}) mutarea întâi
    _SG{~k,j~}_ ^ _SG{~i-k,j~},_ (1 ≤ _k_ < {_i_})
    _SG{~i,k~}_ ^ _SG{~i,j-k-1~},_ (1 ≤ _k_ < {_j - 1_}) mutarea a doua
    _SG{~k,j~}_ ^ _SG{~i-k-1,j~},_ (1 ≤ _k_ < {_i - 1_})
    {_SG{~i-2,j-2~}_}) ({_i_} > 2 şi _j_ > 2) mutarea a treia

$SG{~i,j~} = mex(SG{~i,k~} ^ SG{~i,j-k~}, (1 ≤ k < j)$ mutarea întâi
    $SG{~k,j~} ^ SG{~i-k,j~}, (1 ≤ k < i)$
    $SG{~i,k~} ^ SG{~i,j-k-1~}, (1 ≤ k < j - 1)$ mutarea a doua
    $SG{~k,j~} ^ SG{~i-k-1,j~}, (1 ≤ k < i - 1)$
    $SG{~i-2,j-2~}) (i > 2 şi j > 2)$ mutarea a treia

Acum, pentru a calcula numãrul de mutãri câştigãtoare efectuãm asupra fiecãrei tablete din fişierul de intrare toate mutãrile posibile care sunt cel mult de 4 • 100 + 1 şi facem suma _XOR_ a valorilor Sprague Grundy pentru restul tabletelor neimplicate în mutare şi a tabletelor rezultate din mutare. Pentru a calcula _SG{~i,j~} trebuie sã parcurgem cel mult 2 • _i_ + 2 • _j_ + 1 valori obţinute. Astfel, algoritmul de determinare al valorilor matricei _SG_ are ordinul de complexitatea _O(N^3^)._
Complexitatea algoritmului care determinã numãrul de mutãri câştigãtoare este _O(N^2^)._

Acum, pentru a calcula numãrul de mutãri câştigãtoare efectuãm asupra fiecãrei tablete din fişierul de intrare toate mutãrile posibile care sunt cel mult de $4 • 100 + 1$ şi facem suma $XOR$ a valorilor Sprague Grundy pentru restul tabletelor neimplicate în mutare şi a tabletelor rezultate din mutare. Pentru a calcula $SG{~i,j~}$ trebuie sã parcurgem cel mult $2 • i + 2 • j + 1$ valori obţinute. Astfel, algoritmul de determinare al valorilor matricei $SG$ are ordinul de complexitatea $O(N^3^)$.
Complexitatea algoritmului care determinã numãrul de mutãri câştigãtoare este $O(N^2^)$.

Am vãzut cã aceste numere sunt folositoare pentru rezolvarea unor probleme de jocuri combinatorice. Chiar dacã numãrul stãrilor grafului nostru aciclic poate sã fie foarte mare, putem sã ne dãm seama, câteodatã, din valorile mici de o regulã pe care o urmeazã numerele, sau mãcar putem determina mai uşor configuraţii pentru care jocul are sau nu strategie de câştig, fapt care ne poate ajuta în descoperirea rezolvãrii generale.