h1. Notiuni elementare de geometrie si aplicatii

h1. Notiuni de geometrie si aplicatii

(Categoria _Geometrie_, Autori _Savin Tiberiu_ si _Sima Mihai Cotizo_)

(Categoria _Geometrie_, autori _Savin Tiberiu_ si _Sima Mihai Cotizo_)

(toc){width: 27em}*{text-align:center} *Conţinut:*
* '**0. Introducere**':notiuni-de-geometrie-si-aplicatii#introducere
* '1. Arii':notiuni-de-geometrie-si-aplicatii/arii
** '- triunghi':notiuni-de-geometrie-si-aplicatii/arii#triunghi
** '- patrulater':notiuni-de-geometrie-si-aplicatii/arii#patrulater
** '- poligon':notiuni-de-geometrie-si-aplicatii/arii#poligon
* '2. Drepte':notiuni-de-geometrie-si-aplicatii/drepte
** '- elemente generale':notiuni-de-geometrie-si-aplicatii/drepte#general
** '- ecuaţii':notiuni-de-geometrie-si-aplicatii/drepte#ecuatii
** '- distanţa punct-linie':notiuni-de-geometrie-si-aplicatii/drepte#dpl
** '- distanţa punct-segment(semidreaptă)':notiuni-de-geometrie-si-aplicatii/drepte#dps
* '3. Punct în poligon':notiuni-de-geometrie-si-aplicatii/punct-in-poligon
** '- crossing-number':notiuni-de-geometrie-si-aplicatii/punct-in-poligon#cn
** '- winding-number (?)':notiuni-de-geometrie-si-aplicatii/punct-in-poligon#wn
** '- şmenuri':notiuni-de-geometrie-si-aplicatii/punct-in-poligon#smen
* '4. Intersecţii de drepte şi segmente':notiuni-de-geometrie-si-aplicati/intersectii-drepte-si-segmente
* 5. Distanţe
** - între linii
** - între segmente şi semidrepte
** - cea mai mică distanţă între două mobile
* 6. Bounding ...
** - ... box
** - ... circle
* '7. Infaşurătoare convexă':notiuni-de-geometrie-si-aplicatii/infasuratoare-convexa
* 8. Puncte extreme şi distanţa poligon-linie
* 9. Tangente
* 10. Probleme de concurs

h2. 1.Drepte

h2(#introducere). 0. Introducere

h3. +Ecuatiile dreptelor+

**Geometria** (din greaca veche - {_geo_}=pământ, {_metria_}=a măsura) este partea matematicii care se ocupă cu problemele privind dimensiunile, forma şi poziţia figurilor. Introducerea coordonatelor de către René Descartes a dus la dezvoltarea geometriei analitice, a cărei scop devine studierea geometriei prin funcţii şi ecuaţii.

Ecuatia unei drepte reprezinta o relatie care este respecatata de toate punctele aflate pe dreapta. Forma generala a ecuatiei unei drepte in sistemul xOy este:

În problemele de olimpiadă este necesară cunoaşterea câtorva noţiuni şi idei de bază pentru a facilita găsirea unui algoritm eficient într-un timp scurt. Prezentul articol are ca scop explicarea acestor noţiuni privitoare la geometria plană (2D) şi studierea câtorva idei aplicate în problemele de concurs.

!/notiuni-de-geometrie-si-aplicatii?action=download&file=ecuatie001.gif!

In cazul in care dreapta nu este in plan se va adauga un coeficient nou la ecuatie pentru fiecare dimensiune, de exemplu pentru o dreapta in spatiu ecuatia ei va fi :
 
!/notiuni-de-geometrie-si-aplicatii?action=download&file=ecuatie002.gif!
 
Pentru simplitate de aici inainte ne vom referi numai la drepte in plan. De mentionat este faptul ca daca trecem pe $y$ in partea dreapta si impartim prin $-b$ (consideram un caz general, nu cel nefericit in care $b=0$), obtinem:
 
!/notiuni-de-geometrie-si-aplicatii?action=download&file=ecuatie003.gif!
!/notiuni-de-geometrie-si-aplicatii?action=download&file=ecuatie004.gif!
!/notiuni-de-geometrie-si-aplicatii?action=download&file=ecuatie005.gif!
 
De asemenea, fiind date doua puncte $A(x{~1~},y{~1~})$ si $B{x{~2~},y{~2~})$, ecuatia dreptei determinate de ei se poate scrie:
 
!/notiuni-de-geometrie-si-aplicatii?action=download&file=ecuatie006.gif!
 
Aceasta poate sa nu ne fie de foarte mult ajutor, dar facand produsul mezilor cu extremii si desfacand parantezele vom obtine:
 
!/notiuni-de-geometrie-si-aplicatii?action=download&file=ecuatie007.gif!, de unde putem deduce foarte usor cine sunt $a$, $b$, $c$ din scrierile precedente.
 
Se poate ridica intrebarea "de ce toate ecuatiile sunt (in general) egale cu 0?". Raspunsul este unul extrem de simplu: _dreptele sunt locuri geometrice_ (multimi de puncte cu aceeasi proprietate) _pentru care ecuatia respectiva este egala cu $0$_. De asemenea, se stie ca orice dreapta imparte planul in $2$ semiplane : cel cu puncte pentru care daca aplicam ecuatia, vom obtine o valoare strict pozitiva, iar cel pt care vom obtine o valoare strict negativa. De aceea,  daca avem o dreapta data prin 2 puncte $A(x{~1~},y{~1~})$ si $B{x{~2~},y{~2~})$ de pe aceasta, atunci punctul $C{x{~3~},y{~3~})$ va apartine dreptei $AB$ daca si numai daca:
 
 
!/notiuni-de-geometrie-si-aplicatii?action=download&file=determinant001.gif!
 
h3. +Punctul de intersectie a 2 drepte+
 
Dupa cum am vazut o dreapta reprezinta un loc geometric. Sa zicem ca avem 2 drepte $d{~1~}$ si $d{~2~}$ si dorim sa aflam punctul $A(x,y)$ cu propietatea ca acesta apartine atat dreptei $d{~1~}$ cat si dreptei $d{~2~}$. Scriem ecuatiile celor 2 drepte:
 
!/notiuni-de-geometrie-si-aplicatii?action=download&file=sistem01!
 
!/notiuni-de-geometrie-si-aplicatii?action=download&file=sistem02!
 
Am ajuns astfel la un sistem de $2$ ecuatii cu $2$ necunoscute. Pentru a ajunge la niste formule mai directe de calculare a celor $2$ coordonare vom inmulti prima relatie cu $b{~2~}$ si pe cea de-a doua cu $b{~1~}$.
 
!/notiuni-de-geometrie-si-aplicatii?action=download&file=sistem03!
 
!/notiuni-de-geometrie-si-aplicatii?action=download&file=sistem04!
 
Scadem cele doua relatii si ajungem la o singura ecuatie cu o singura necunoscuta:
 
!/notiuni-de-geometrie-si-aplicatii?action=download&file=sistem05!
 
!/notiuni-de-geometrie-si-aplicatii?action=download&file=sistem06!
 
Odata ce l-am aflat pe $x$, descoperirea celeilalte coordonate e destul de triviala:
 
!/notiuni-de-geometrie-si-aplicatii?action=download&file=sistem01!
 
!/notiuni-de-geometrie-si-aplicatii?action=download&file=sistem07!
 
h3. Panta unei drepte
 
Panta unei drepte se poate defini ca fiind tangenta unghiului facut de dreapta cu orizontala, mai exact cu orice dreapta paralela cu axa $OX$. Ea se calculeaza astfel:
 
!/notiuni-de-geometrie-si-aplicatii?action=download&file=panta.gif!
 
sau
 
!/notiuni-de-geometrie-si-aplicatii?action=download&file=ecuatie005.gif!
 
In a doua ecuatie $a$ si $b$ reprezinta coeficienti ecuatiei dreptei respective
 
!/notiuni-de-geometrie-si-aplicatii?action=download&file=ecuatie001.gif!
 
 
Propietati:
 {*} Doua drepte care au pantele egale sunt ori paralele ori confundate.
 {*} Doua drepte care au produsul pantelor egal cu $-1$ sunt perpendiculare.
 
h2. 2.Distante
 
h3. +Distanta dintre 2 puncte+
 
Consideram $2$ puncte $A(x{~1~},y{~1~})$ si $B(x{~2~},y{~2~})$, si vrem sa aflam distanta dintre ele. Pentru a face acest lucru construim un al treilea punct $C(x{~2~},y{~1~})$ si observam ca triunghiul $ACB$ este dreptunghic iar distanta dintre punctele $AB$ este intocmai ipotenuza acestui triunghi. Folosind "teorema lui Pitagora":http://mathworld.wolfram.com/PythagoreanTheorem.html ajunge la urmatoarea formula:
 
!/notiuni-de-geometrie-si-aplicatii?action=download&file=ecuatie008.gif!
 
 
h3. +Distanta dintre un punct si o dreapta+
 
Pentru a calcula distanta care ne trebuie noua vom calcula panta dreptei $d{~1~}$ notata cu $m{~1~}$. Acum vrem sa construim o dreapta $d{~2~}$ perpendiculara pe dreapta $d{~1~}$ care trece prin punctul $A$. Stim ca $m{~1~}*m{~2~}=-1$ si de aici aflam usor $m{~2~}$ (panta dreptei $d{~2~}$). In acest moment avem panta dreptei $d{~2~}$ si un punct care ii apartine. Avand aceste 2 informatii putem sa calculam usor ecuatia ei si punctul de intersectie cu dreapta $d{~1~}$ ({_Vezi capitolul Drepte_}). Distanta dintre dreapta si punct va fi egala cu distanta dintre punct si punctul de intersectie al celor $2$ drepte.
 
De asemenea exista si o formula pt a determina distanta de la un punct la o dreapta: considerand punctul $A(x,y)$ si dreapta $d: ax+by+c=0$, vom avea :
 
h3. +Distanta dintre un punct si un segment+
 
Sa presupunem un punct $A(x{~1~},y{~1~})$ si un segment determinat de punctele $B(x{~2~},y{~2~})$ si $C(x{~3~},y{~3~})$ si vrem sa aflam distanta dintre punct si segment.
 
$D$=min(dist({$A$},{$B$}),dist({$A$},{$C$})) in cazul in care perpendiculara din punctul $A$ pe dreapta $BC$ *nu* cade in interiorul segmentului $BC$, altfel distanta va fi egala cu distanta dintre punctul $A$ si dreapta $BC$, lucru care l-am tratat mai sus.
 
h2. 3.Arii
 
h3. +Aria unui triunghi+
 
Aria unui triunghi determinat de punctele $A(x{~1~},y{~1~})$, $B(x{~2~},y{~2~})$ si $C(x{~3~},y{~3~})$ este egala cu :
 
<tex>A=abs( \frac{1}{2}*\left| \begin{array}{ccc}
\ x{~1~}& y{~1~}& 1\\
x{~2~}& y{~2~}& 1\\
x{~3~}& y{~3~}& 1\end{array} \right| )
</tex>
 
Unde $abs(x)$ reprezinta valoarea absoluta a lui $x$. Determinantul de mai sus poate fi folosit si pentru a vedea daca cele $3$ puncte sunt in sens invers sau direct trigonometric, el fiind negativ in cazul in care punctele sunt in sens invers trigonometric.
 
h3. +Aria unui poligon+
 
Aria unui poligon convex cu $n$ laturi o putem calcula foarte usor folosind formula pentru aria unui triunghi astfel.
 
<tex>\displaystyle \sum_{i=2}^{i<n} Arie(p_{1},p_{i},p_{i+1})</tex>
 
Unde <tex>Arie(p_{x},p_{y},p_{z})</tex> reprezinta aria triunghiului determinat de punctele $p{~x~}$, $p{~y~}$, $p{~z~}$.
 
Aria unui poligon concav se calculeaza la fel doar ca atunci cand calculam <tex>Arie(p_{1},p_{i},p_{i+1}</tex> renuntam la abs, si tinem minte semnul determinantului si luam valoarea absoluta dupa ce am calculat intreaga suma.
 
h2. Probleme rezolvate
 
h3. +Infasuratoarea convexa+
 
Enuntul problemei: Se da un set de puncte in plan, sa se determine un poligon convex de arie minima care contine toate punctele in interiorul sau.
Rezolvare: O posibila solutie este sa fixam punctul cu abscisa minima si sa translatam toate punctele pana cand acesta ajunge in punctul de coordonate $(0,0)$. Acum vom sorta punctele dupa formula <tex> \frac{y}{x} </tex> unde $x$ si $y$ sunt coordonatele punctului, iar in caz de egalitate dupa distanta fata de punctul $(0,0)$. In cazul nefericit in care $x=0$ vom considera ca <tex> \frac{y}{x} = INF </tex>. Apoi vom parcurge punctele in ordine si le vom introduce intr-o stiva. Inainte sa introducem un punct in stiva trebuie insa sa ne uitam daca nu cumva punctele $st[vf-1] , st[vf]$ si $P$ sunt in ordine invers trigonometrica ( $st$ - stiva, $vf$ - varful stivei, $P$ - punctul curent). Aici ne vom folosi de o alta proprietate a determinantului cu ajutorul caruia determinam aria unui triunghi. Mai exact vom calcula
<tex>D=\left| \begin{array}{ccc}
\ x{~1~}& y{~1~}& 1\\
x{~2~}& y{~2~}& 1\\
x{~3~}& y{~3~}& 1\end{array} \right|
</tex>
pentru $st[vf-1] = (x{~1~}.y{~1~}) , st[vf]= (x{~2~},y{~3~}), P(x{~3~},y{~3~})$. Daca $D$ este negativ atunci inseamna ca unghiul cu originea in $st[vf]$ face o intoarcere la dreapta si trebuie scos din stiva. Repetam procedeul pana cand ramanem cu un singur punct in stiva sau pana cand intalnim un $D >= 0$ dupa care adaugam punctul in stiva. Dupa ce am terminat e posibil ca poligonul nostru inca sa fie convex deoarece nu am verificat unghiul care are originea in $st[vf]$, asa ca il vom calcula pe $D$ pentru punctele $st[vf-1],st[vf],st[ 1 ]$ si vom scoate punctul din varf atata timp cat $D$ va fi negativ. Punctele ramase reprezinta infasuratoarea convexa a setului de puncte primite la intrare.
 
 
 
(TODO) Adaugati si centru de greutate a unui poligon si eventual explicati de ce merge formula de mai sus pt aria unui poligon concav.
 
sugestii de probleme de adaugat
 
punct in poligon:
  - punct in triunghi
  - punct in poligon oarecare
  - punct in poligon convex 2 solutii cautare binara dupa unghi sau dupa y
  - punct in poligon stelat
  - problema poligon din arhiva
 
infasuratoare convexa X
  vreo 5 metode
 
gasire rapida a celui mai de sus punct din un poligon convex
 
determinare daca un poligon e convex sau concav
 
determinare a sensului de parcurgere a varfurilor unui poligon
 
intersectii de drepte cu un poligon convex
 
rotating calipers
  - perechea de puncte cele mai departate
  - dreptunghiul de arie minima ce contine un set de puncte
 
halplane intersectin