h3. Punct in interiorul unui triunghi
Se da un triunghi prin coordonatele varfurilor. Se cere sa se afiseze pentru un set de $N$ puncte din plan daca apartin sau nu interiorului triunghiului. Pentru a rezolva aceasta problema, sa consideram triunghiul $ABC$ si punctul $P$, interior acestuia.

!http://infoarena.ro/notiuni-de-geometrie-si-aplicatii?action=download&file=triunghi.jpg!
 

!triunghi.jpg!

Observam ca vectorii ( **AB**, **BP** ), ( **BC**, **CP** ), ( **CA**, **AP** ) vor realiza mereu acelasi tip de intoarcere (in acest caz spre stanga). De aceea, determinantii:
det( ((xA,yA,1),(xB,yB,1),(xP,yP,1)) ), det( ((xB,yB,1),(xC,yC,1),(xP,yP,1)) ), det( ((xC,yC,1),(xA,yA,1),(xP,yP,1)) )

trebuie sa aiba acelasi semn. In caz contrar, $P$ este in exteriorul triunghiului. In imaginea precedenta, se observa ca in cazul punctului $P'$, vectorii **BC**, **CP** fac o intoarcere la dreapta, deci determinantul corespunzator nu va avea acelasi semn cu ceilalti doi.

trebuie sa aiba acelasi semn. In caz contrar, $P$ este in exteriorul triunghiului.

h3. Punct in interiorul unui poligon oarecare

Se da un poligon oarecare cu $N$ varfuri si un punct $P$ prin coordonatele carteziene. Se cere sa se determine daca punctul $P$ este in interiorul sau in exteriorul poligonului.
 
Se va trasa o semidreapta orizontala cu originea in punctul $P$. Daca aceasta semidreapta intersecteaza un numar impar de muchii ale poligonului, atunci punctul se afla in interiorul acestuia. Mentionam ca trebuie avut in vedere cazul in care semidreapta trece chiar printr-un varf de poligon (capat a doua muchii). In acest caz, nu vom numara nici una dintre muchii ca fiind intersectata de semidreapta. Vom considera imaginea urmatoare:
 
 !http://infoarena.ro/notiuni-de-geometrie-si-aplicatii?action=download&file=poligon-raza.jpg!

Se da un poligon oarecare cu $N$ varfuri si un punct $P$ prin coordonatele carteziene. Se cere sa se determine daca punctul $P$ este in interiorul sau in exteriorul poligonului.

In cazul punctului P~1~, respectiv P~2~, semidreptele intersecteaza 3, respectiv 1 latura (numere impare) deci punctele se afla in interior. Semidreapta corespunzatoare lui P~3~ intersecteaza o latura si un varf de poligon ... si avem o problema

Vom considera imaginea alaturata: !poligon-raza.jpg!
Se va trasa o semidreapta orizontala cu originea in punctul $P$. Daca aceasta semidreapta intersecteaza un numar impar de muchii ale poligonului, atunci punctul se afla in interiorul acestuia. Mentionam ca trebuie avut in vedere cazul in care semidreapta trece chiar printr-un varf de poligon (capat a doua muchii). In acest caz, nu vom numara nici una dintre muchii ca fiind intersectata de semidreapta.

*Feedback (Stefan):* Articolul trebuie imbracat intr-o forma mai prezentabila. Nu trebuie sa ramana doar o lista de formule si schelete de probleme. De asemenea, trebuie compactat si eliminate spatiile mari care il fac greu de citit.
*TODO:* Adaugati si centru de greutate a unui poligon si eventual explicati de ce merge formula de mai sus pt aria unui poligon concav.