h2(#triunghi). Aria unui triunghi

În determinarea ariei unui triunghi se poate folosi **formula lui Heron**:
<tex>\begin{math} A=\sqrt{s\cdot(s-a)\cdot(s-b)\cdot(s-c)}\end</tex>
În formulă, $s$ reprezintă semiperimetrul triunghiului, iar $a, b, c$ lungimile laturilor triunghiului. Această formulă apare şi într-o altă formă, mult mai adecvată algoritmilor prin faptul că se evită calcularea lungimii laturilor cu radical:
<tex>\begin{math} A=\frac{1}{4}\sqrt{4a^{2}b^{2}-\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right)^{2}}\end</tex>

Aria unui triunghi determinat de punctele $A(x{~1~},y{~1~})$, $B(x{~2~},y{~2~})$ si $C(x{~3~},y{~3~})$ este egala cu :

În contextul geometriei vectoriale, modulul produsului vectorial a doi vectori o reprezintă aria paralelogramului cuprins între vectori. Aplicând raţionamentul la triunghiuri, obţinem relaţia:
<tex>\begin{math} A = \frac{1}{2}\|\vec{v}\times\vec{w}\| = \frac{1}{2}\cdot abs\left(\left|\begin{array}{ccc}

<tex>A = \frac{1}{2} * abs \left( \left| \begin{array}{ccc}

\ x_1 & y_1 & 1\\
x_2 & y_2 & 1\\

x_3 & y_3 & 1\end{array}\right|\right)\end{math}</tex>
 
!notiuni-de-geometrie-si-aplicatii/arii?vector.jpg!
 
 
h2(#patrulater). Aria unui patrulater
 
După cum am văzut în cazul unui triunghi, aria unui paralelogram $ABCD$ este egală cu modulul produsului vectorial al vectorilor reprezentaţi de 2 laturi neparalele.
<tex>
\begin{math}
A = \|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}\|
\end{math}

x_3 & y_3 & 1\end{array} \right| \right)

</tex>

Pentru un patrulater oarecare $ABCD$, putem considera {$M{~1~}$}, {$M{~2~}$}, {$M{~3~}$}, {$M{~4~}$} mijloacele laturilor acestuia. Se poate demonstra că patrulaterul {$M{~1~}M{~2~}M{~3~}M{~4~}$} este un paralelogram cu aria jumătate din aria lui $ABCD$:
<tex> \begin{math}
A = 2\cdot\|\left(\overrightarrow{r_{M_{2}}}-\overrightarrow{r_{M_{1}}}\right)\times\left(\overrightarrow{r_{M_{4}}}-\overrightarrow{r_{M_{1}}}\right)\|\end{math}</tex>
<tex> \begin{math}
A = 2\cdot\|
\left(\frac{ \vec{r_{B}}+\vec{r_{C}} }{2}-\frac{ \vec{r_{A}}+\vec{r_{B}} }{2}\right)
\times
\left(\frac{ \vec{r_{A}}+\vec{r_{D}} }{2}-\frac{ \vec{r_{A}}+\vec{r_{B}} }{2}\right)\|
\end{math} </tex>
<tex>\begin{math}
A = \frac{1}{2}\cdot\|
\left(\overrightarrow{r_{C}}-\overrightarrow{r_{A}}\right)\times\left(\overrightarrow{r_{D}}-\overrightarrow{r_{B}}\right)
\|
\end{math}</tex>
<tex>\begin{math}A = \frac{1}{2}\cdot\|\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{BD}\|\end{math}</tex>
 
!notiuni-de-geometrie-si-aplicatii/arii?patrulater.jpg!

Unde $abs(x)$ reprezinta valoarea absoluta a lui $x$. Determinantul de mai sus poate fi folosit si pentru a vedea daca cele $3$ puncte sunt in sens invers sau direct trigonometric, el fiind negativ in cazul in care punctele sunt in sens invers trigonometric.

h2(#poligon). Aria unui poligon

Pentru a calcula aria unui poligon oarecare {$A{~1~}A{~2~}A{~3~}..A{~n~}$}, vom considera un punct P arbitrar ales în plan. Vom "împărţi" poligonul în triunghiuri de forma $PA{~i~}A{~i+1~}$ (considerăm că A{~1~}=A{~n+1~}) şi vom calcula "aria cu semn" $T{~i~}$ a fiecărui triunghi (în formula ariei nu vom folosi funcţia de valoare absolută). Distingem în acest moment două cazuri:
 
* Poligonul are vârfurile orientate trigonometric. Pentru fiecare latură "spre dreapta", aria $T{~i~}$ corespunzătoare va fi negativă, iar pentru fiecare latură "spre stânga", aria $T{~i~}$ corespunzătoare va fi pozitivă.
* Poligonul are vârfurile orientate antitrigonometric. Pentru fiecare latură "spre dreapta", aria $T{~i~}$ corespunzătoare va fi pozitivă, iar pentru fiecare latură "spre stânga", aria $T{~i~}$ corespunzătoare va fi negativă.
 
În ambele cazuri, efectuând suma algebrică a ariilor $T{~i~}$ vom obţine aria poligonului (deoarece ariile negative vor "anula" zonele corespunzătoare ariilor pozitive care se află în afara poligonului).
 
!notiuni-de-geometrie-si-aplicatii/arii?poligon2.jpg!

Aria unui poligon convex cu $n$ laturi o putem calcula foarte usor folosind formula pentru aria unui triunghi astfel.

Dacă alegem punctul $P(0,0)$, fiecare arie $T{~i~}$ devine:
<tex>\begin{math}T_{i} = \frac{1}{2}\cdot abs\left(\left|\begin{array}{ccc}
\ 0 & 0 & 1\\
x_i & y_i & 1\\
x_{i+1} & y_{i+1} & 1\end{array}\right|\right) = \frac{1}{2}\cdot\left(x_i\cdot y_{i+1}-x_{i+1}\cdot y_i\right)
\end{math}</tex>

<tex>\displaystyle \sum_{i=2}^{i<n} Arie(p_{1},p_{i},p_{i+1})</tex>

Formula finală devine:
<tex>\begin{math}
A = \displaystyle\sum_{i=1}^n T_i = \frac{1}{2}\cdot\displaystyle\sum_{i=1}^n \left(x_i\cdot y_{i+1}-x_{i+1}\cdot y_i\right)
\end{math}</tex>

Unde <tex>Arie(p_{x},p_{y},p_{z})</tex> reprezinta aria triunghiului determinat de punctele $p{~x~}$, $p{~y~}$, $p{~z~}$.

Această formulă reprezintă "aria cu semn" a poligonului (o arie pozitivă indică parcurgerea vârfurilor în ordine trigonometrică, iar o arie negativă, parcurgerea in ordine antitrigonometrică).

Aria unui poligon concav se calculeaza la fel doar ca atunci cand calculam <tex>Arie(p_{1},p_{i},p_{i+1}</tex> renuntam la abs, si tinem minte semnul determinantului si luam valoarea absoluta dupa ce am calculat intreaga suma.