for-ul in C/C++ este foarte flexibil si poate ajuta foarte mult in compactarea codului, deci si a timpului de implementare. In continuare vom prezenta algoritmul merge sort (sortare prin interclasare) scris in cateva linii (putine, zic eu!):
p(pre).
{@int N, A[N], B[N];@}
{@void merge_sort(int l, int r)@}
{@{@}
{@ int m = (l + r) >> 1, i, j, k;@}
{@ if (l == r) return;@}
{@ merge_sort(l, m);@}
{@ merge_sort(m + 1, r);@}
{@ for (i=l, j=m+1, k=l; i<=m || j<=r; )@}
{@ if (j > r || (i <= m && A[i] < A[j]))@}
{@ B[k++] = A[i++];@}
{@ else@}
{@ B[k++] = A[j++];@}
{@ for (k = l; k <= r; k++) A[k] = B[k];@}
{@}@}
== code(c) |
int N, A[N], B[N];
void merge_sort(int l, int r)
{
int m = (l + r) >> 1, i, j, k;
if (l == r) return;
merge_sort(l, m);
merge_sort(m + 1, r);
for (i=l, j=m+1, k=l; i<=m || j<=r; )
if (j > r || (i <= m && A[i] < A[j]))
B[k++] = A[i++];
else
B[k++] = A[j++];
for (k = l; k <= r; k++) A[k] = B[k];
}
==
h2. Recomandari generale
# Programare dinamica cu memoizare: mult mai simplu si uneori chiar mai rapida cand nu ne trebuie tot array-ul
# Algoritmi randomizati: de multe ori mai usor de implementat si mai eficienti, mai bine decat cei euristici, dar necesita o analiza mult mai atenta a performantei. Exemple calsice: quciksort, statistici de ordine
# Algoritmi randomizati: de multe ori mai usor de implementat si mai eficienti, mai bine decat cei euristici, dar necesita o analiza mult mai atenta a performantei. Exemple clasice: quicksort, statistici de ordine
h2. "Smenul lui Mars" (Marius Andrei)
Consideram urmatoarea problema: se da un vector $A$ de $N$ elemente pe care se fac $M$ astfel de operatii: {@ADUNA(st, dr, x)@} - toate elementele cu indicii intre $st$ si $dr$ isi cresc valoarea cu {$x$}. La sfarsit trebuie sa se afiseze vectorul rezultat. In continuarea vom descrie o metoda care ne da un timp de rulare de $O(1)$ pentru operatia $ADUNA$ si $O(N)$ pentru a determina un element din vector. Vom construi un al doilea vector $B$ de $N+1$ elemente, cu proprietatea ca {$A{~i~} = B{~0~} + B{~1~} + ... B{~i~}$}. Astfel, o operatie ADUNA(st, dr, x) devine:
Consideram urmatoarea problema: se da un vector $A$ de $N$ elemente pe care se fac $M$ astfel de operatii: {@ADUNA(st, dr, x)@} - toate elementele cu indicii intre $st$ si $dr$ ({$0 ≤ st ≤ dr < N$}) isi cresc valoarea cu {$x$} . La sfarsit trebuie sa se afiseze vectorul rezultat. In continuarea vom descrie o metoda care ne da un timp de rulare de $O(1)$ pentru operatia $ADUNA$ si $O(N)$ pentru a determina toate elementele din vector. Vom construi un al doilea vector $B$ de $N+1$ elemente, cu proprietatea ca {$A{~i~} = B{~0~} + B{~1~} + ... B{~i~}$}. Astfel, o operatie {@ADUNA(st, dr, x)@} devine:
B[st] += x;
== code(c) |B[st] += x;
B[dr + 1] -= x;
==
Da, este chiar asa de simplu! Pentru a determina un element A[i] vom aduna pur si simplu B[0] + B[1] + ... B[i]. Incercati pe foaie sa vedeti cum funtioneaza. Aceasta ideea poate fi extinsa si in doua dimensiuni, construind B astfel incat A[i][j] = suma subtabloului din B cu coltul in (0, 0) si (i, j), astfel (pt. ADUNA(x1,y1,x2,y2,v)):
Da, este chiar asa de simplu! Pentru a determina un element A{~i~} vom aduna pur si simplu {$B{~0~} + B{~1~} + ... B{~i~}$}. Incercati pe foaie sa vedeti cum funtioneaza. Aceasta ideea poate fi extinsa si in doua dimensiuni, construind $B$ astfel incat $A{~i,j~}$ = suma subtabloului din $B$ cu coltul in ({$0, 0$}) si ({$i, j$}), astfel (pt. {@ADUNA(x1,y1,x2,y2,v)@}):
B[x1][y1] += v;
== code(c) |B[x1][y1] += v;
B[x1][y2 + 1] -= v;
B[x2 + 1][y1] -= v;
B[x2 + 1][y2 + 1] += v;
==
Pe cazul general, daca vrem sa facem operatii in d dimensiuni vom avea o complexitate O(2^d). Reamintesc ca aceasta metoda este eficienta doar cand se vrea afisata vectorul/matricea/etc. doar la sfarsitul operatiilor, deoarece aflarea unui element este o operatie foarte ineficienta.
Pe cazul general, daca vrem sa facem operatii in $d$ dimensiuni vom avea o complexitate {$O(2^d^)$}. Reamintesc ca aceasta metoda este eficienta doar cand se vrea afisata vectorul/matricea/etc. doar la sfarsitul operatiilor sau sunt foarte putine interogari ale valorilor elementelor, deoarece aflarea unui element este o operatie foarte ineficienta: {$O(i)$} pentru a afla valorile elementelor pana la pozitia $i$.
h2. Grafuri cu liste de adiacenta (ideea originala de la Radu Berinde)
h2. Grafuri cu liste de adiacenta
Se stie (sau ar trebui sa se stie!) ca lucrul cu pointerii este foarte incet... astfel, cand retinem un graf rar (numar mare de noduri, numar mic de muchii) cu pointeri (vezi mai jos) incetinim foarte mult programul.
== code(c) |
struct list
{
int n;
struct list *next;
int n;
struct list *next;
}
typedef struct list list;
==
In contiuare vom prezenta o metoda care este de 3-4 ori mai rapida (adica parcurgerile DF , BF sau altii algoritmi ruleaza de 3-4 ori mai rapid cand graful este stocat astfel), dar are ca dezavantaj necesitatea de a citi de doua ori fisierul de intrare.
In contiuare vom prezenta o metoda care este de $3-4$ ori mai rapida (adica parcurgerile DF , BF sau altii algoritmi ruleaza de $3-4$ ori mai rapid cand graful este stocat astfel), dar are ca dezavantaj necesitatea de a citi de doua ori fisierul de intrare.
== code(c) |
#include <stdlib.h>
#include <stdio.h>
int N, M, *G[N], Deg[N];
int main(void)
{
int i, j;
freopen("in.txt", "r", stdin);
scanf("%d %d", &N, &M);
for (; M > 0; M--)
{
scanf("%d %d", &i, &j);
Deg[i - 1]++, Deg[j - 1]++;
}
for (i = 0; i < N; Deg[i++] = 0)
G[i] = (int *) malloc(Deg[i]*sizeof(int));
fseek(stdin, 0, SEEK_SET);
scanf("%d %d", &N, &M);
for (; M > 0; M--)
{
scanf("%d %d", &i, &j);
i--, j--;
G[i][Deg[i]++] = j,
G[j][Deg[j]++] = i;
}
int i, j;
freopen("in.txt", "r", stdin);
scanf("%d %d", &N, &M);
for (; M > 0; M--)
{
scanf("%d %d", &i, &j);
Deg[i - 1]++, Deg[j - 1]++;
}
for (i = 0; i < N; Deg[i++] = 0)
G[i] = (int *) malloc(Deg[i]*sizeof(int));
fseek(stdin, 0, SEEK_SET);
scanf("%d %d", &N, &M);
for (; M > 0; M--)
{
scanf("%d %d", &i, &j);
i--, j--;
G[i][Deg[i]++] = j,
G[j][Deg[j]++] = i;
}
return 0;
}
==
Sporul de viteza se datoreaza faptului ca se folosesc vectori in loc de pointeri si struct-uri. Daca ne permite memoria putem evita citirea de doua ori a fisierul prin pastrarea muchiilor intr-o lista de muchii si apoi, dupa calcularea gradelor, inserarea muchiilor in liste. Pentru a demonstra eficienta acestei metode faceti urmatorul test: implementati o sursa cu pointeri si struct si implementati un BF, apoi scrieti codul de mai sus cu urmatoarele modificari:
== code(c) |
...
for (i = 0; i < N; i++)
{
G[i] = (int *) malloc((Deg[i]+1)*sizeof(int));
G[i][Deg[i]] = -1;
Deg[i] = 0;
G[i] = (int *) malloc((Deg[i]+1)*sizeof(int));
G[i][Deg[i]] = -1;
Deg[i] = 0;
}
...
==
si implementati BF astfel:
void BF(int n)
== code(c) |
void BF()
{
int Q[N], ql, qr, *p;
char U[N];
memset(U, 0, sizeof(U));
U[Q[ql = qr = 0] = n] = 1;
for (; ql <= qr; ql++)
for (p = G[Q[ql]]; *p != -1; p++)
if (!U[*p]) U[Q[++qr] = *p] = 1;
int Q[N], ql, qr, *p;
char U[N];
memset(U, 0, sizeof(U));
U[Q[ql = qr = 0] = n] = 1;
for (; ql <= qr; ql++)
for (p = G[Q[ql]]; *p != -1; p++)
if (!U[*p]) U[Q[++qr] = *p] = 1;
}
==
Apoi, incercati sa vedeti diferenta de timp intre cele doua programe... impresionant, nu?
h2. Numere mari (ideea originala de la Radu Berinde)
h2. Numere mari
In continuare voi prezenta cum se pot realiza operatii pe numere mari cu foarte putine linii de cod. In general, multi programatori se complica la aceste operatii, desi nu este nevoie! Vom considera ca numerele mari sunt vectori in care elementul de indice 0 indica lungimea numarului, iar cifrele sunt retinute in ordinea inversa decat cea a citirii.
In continuare voi prezenta cum se pot realiza operatii pe numere mari cu foarte putine linii de cod. In general, multi programatori se complica la aceste operatii, desi nu este nevoie! Vom considera ca numerele mari sunt vectori in care elementul de indice $0$ indica lungimea numarului, iar cifrele sunt retinute in ordinea inversa decat cea a citirii.
h3. Suma a doua numere mari
== code(c) |
void add(int A[], int B[])
{
int i, t = 0;
for (i=1; i<=A[0] || i<=B[0] || t; i++, t/=10)
A[i] = (t += A[i] + B[i]) % 10;
A[0] = i - 1;
int i, t = 0;
for (i=1; i<=A[0] || i<=B[0] || t; i++, t/=10)
A[i] = (t += A[i] + B[i]) % 10;
A[0] = i - 1;
}
==
h3. Inmultirea unui numar mare cu un numar mic
== code(c) |
void mul(int A[], int B)
{
int i, t = 0;
for (i = 1; i <= A[0] || t; i++, t /= 10)
A[i] = (t += A[i] * B) % 10;
A[0] = i - 1;
int i, t = 0;
for (i = 1; i <= A[0] || t; i++, t /= 10)
A[i] = (t += A[i] * B) % 10;
A[0] = i - 1;
}
==
h3. Inmultirea unui numar mare cu un numar mare
== code(c) |
void mul(int A[], int B[])
{
int i, j, t, C[];
memset(C, 0, sizeof(C));
for (i = 1; i <= A[0]; i++)
{
for (t=0, j=1; j <= B[0] || t; j++, t/=10)
C[i+j-1]=(t+=C[i+j-1]+A[i]*B[j])%10;
if (i + j - 2 > C[0]) C[0] = i + j - 2;
}
memcpy(A, C, sizeof(C));
int i, j, t, C[NR_CIFRE];
memset(C, 0, sizeof(C));
for (i = 1; i <= A[0]; i++)
{
for (t=0, j=1; j <= B[0] || t; j++, t/=10)
C[i+j-1]=(t+=C[i+j-1]+A[i]*B[j])%10;
if (i + j - 2 > C[0]) C[0] = i + j - 2;
}
memcpy(A, C, sizeof(C));
}
==
h3. Scaderea a doua numere mari
== code(c) |
void sub(int A[], int B[])
{
int i, t = 0;
for (i = 1; i <= A[0]; i++)
A[i] += (t = (A[i] -= B[i] + t) < 0) * 10;
for (; A[0] > 1 && !A[A[0]]; A[0]--);
int i, t = 0;
for (i = 1; i <= A[0]; i++) {
A[i] -= ((i <= B[0]) ? B[i] : 0) + t;
A[i] += (t = A[i] < 0) * 10;
}
for (; A[0] > 1 && !A[A[0]]; A[0]--);
}
==
h3. Impartirea unui numar mare la un numar mic
== code(c) |
void div(int A[], int B)
{
int i, t = 0;
for (i = A[0]; i > 0; i--, t %= B)
A[i] = (t = t * 10 + A[i]) / B;
for (; A[0] > 1 && !A[A[0]]; A[0]--);
int i, t = 0;
for (i = A[0]; i > 0; i--, t %= B)
A[i] = (t = t * 10 + A[i]) / B;
for (; A[0] > 1 && !A[A[0]]; A[0]--);
}
==
h3. Restul unui numar mare la un numar mic
== code(c) |
int mod(int A[], int B)
{
int i, t = 0;
for (i = A[0]; i > 0; i--)
t = (t * 10 + A[i]) % B;
return t;
int i, t = 0;
for (i = A[0]; i > 0; i--)
t = (t * 10 + A[i]) % B;
return t;
}
==
h2(#AVL). AVL-uri (implementarea lui Radu Berinde)
AVL-urile sunt arbori de cautare echilibrati care au complexitate O(lg n) pe operatiile de inserare, stergere si cautare. Pentru mai multe detalii cautati cartea "Arbori" pe site-ul doamnei profesoare Emanuela Cerchez. In continuare voi prezenta o metoda destul de simpla de a implementa aceastra structura de date in timp de concurs. Enjoy!
h2. AVL-uri (ideea originala de la Radu Berinde - again)
AVL-urile sunt arbori de cautare echilibrati care au complexitate O(lg n) pe operatiile de inserare, stergere si cautare. Pentru mai multe detalii cautati cartea "Arbori" pe [2]site-ul doamnei profesoare Emanuela Cerchez. In continuare voi prezenta o metoda destul de simpla de a implementa aceastra structura de date in timp de concurs. Enjoy!
== code(c) |
#define max(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b))
#define geth(n) (n->h = 1 + max(n->l->h, n->r->h))
struct node
{
int key, h;
struct node *l, *r;
int key, h;
struct node *l, *r;
} *R, *NIL;
typedef struct node node;
void init(void)
{
R = NIL = (node *) malloc(sizeof(node));
NIL->key = NIL->h = 0,
NIL->l = NIL->r = NULL;
R = NIL = (node *) malloc(sizeof(node));
NIL->key = NIL->h = 0,
NIL->l = NIL->r = NULL;
}
node* rotleft(node *n)
{
node *t = n->l;
node *t = n->l;
n->l = t->r, t->r = n,
geth(n), geth(t);
return t;
n->l = t->r, t->r = n,
geth(n), geth(t);
return t;
}
node* rotright(node *n)
{
node *t = n->r;
n->r = t->l, t->l = n,
geth(n), geth(t);
return t;
node *t = n->r;
n->r = t->l, t->l = n,
geth(n), geth(t);
return t;
}
node* balance(node *n)
{
geth(n);
if (n->l->h > n->r->h + 1)
{
if (n->l->r->h > n->l->l->h)
n->l = rotright(n->l);
n = rotleft(n);
geth(n);
if (n->l->h > n->r->h + 1)
{
if (n->l->r->h > n->l->l->h)
n->l = rotright(n->l);
n = rotleft(n);
}
else
if (n->r->h > n->l->h + 1)
{
if (n->r->l->h > n->r->r->h)
n->r = rotleft(n->r);
n = rotright(n);
}
return n;
}
else
if (n->r->h > n->l->h + 1)
{
if (n->r->l->h > n->r->r->h)
n->r = rotleft(n->r);
n = rotright(n);
}
return n;
}
node* insert(node *n, int key)
{
if (n == NIL)
{
n = (node *) malloc(sizeof(node));
n->key = key, n->h = 1, n->l = n->r = NIL;
return n;
}
if (key < n->key)
n->l = insert(n->l, key);
else
n->r = insert(n->r, key);
return balance(n);
if (n == NIL)
{
n = (node *) malloc(sizeof(node));
n->key = key, n->h = 1, n->l = n->r = NIL;
return n;
}
if (key < n->key)
n->l = insert(n->l, key);
else
n->r = insert(n->r, key);
return balance(n);
}
node* erase(node *n, int key)
{
node *t;
if (n == NIL) return n;
if (n->key == key)
{
if (n->l == NIL || n->r == NIL)
{
t = n->l == NIL ? n->r : n->l;
free(n); return t;
}
else
{
for (t = n->r; t->l != NIL; t = t->l);
n->key = t->key,
n->r = erase(n->r, t->key);
return balance(n);
node *t;
if (n == NIL) return n;
if (n->key == key)
{
if (n->l == NIL || n->r == NIL)
{
t = n->l == NIL ? n->r : n->l;
free(n); return t;
}
else
{
for (t = n->r; t->l != NIL; t = t->l);
n->key = t->key,
n->r = erase(n->r, t->key);
return balance(n);
}
}
if (key < n->key)
n->l = erase(n->l, key);
else
n->r = erase(n->r, key);
return balance(n);
}
}
if (key < n->key)
n->l = erase(n->l, key);
else
n->r = erase(n->r, key);
return balance(n);
}
int search(node *n, int key)
{
if (n == NIL) return 0;
if (n->key == key) return 1;
if (key < n->key)
return search(n->l, key);
else
return search(n->r, key);
if (n == NIL) return 0;
if (n->key == key) return 1;
if (key < n->key)
return search(n->l, key);
else
return search(n->r, key);
}
==
Aici se termina acest articol. Am incercat sa pun accentul pe simplitate si eficienta, si cred ca am reusit acest lucru. Sper ca ati invatat cate ceva din el si recomand sa luati fiecare bucata in parte si sa incercati sa implementati efectiv ca sa intelegi mai bine. Bafta la concursuri tuturor! ;)
References
Visible links
1. http://info.devnet.ro/articole.php?page=art&art=19
2. http://www.liis.ro/%7eema/