$H$ se calculeaza inainte sau poate fi constant
$T$ sunt tatii nodului si $N$ numarul de noduri

p(pre). {@void DF(int n, int t2, int lev)@}
{@{@}
{@    int i;@}
{@    T2[n] = t2, Lev[n] = lev;@}
{@    if (lev % H @}=={@ 0) t2 = n;@}
{@    for (i = 0; i < N; i++)@}
{@        if (T[i] @}&#0061;&#0061;{@ n) DF(i, t2, lev+1);@}
{@}@}

== code(c) |
void DF(int n, int t2, int lev)
{
    int i;
    T2[n] = t2, Lev[n] = lev;
    if (lev % H == 0) t2 = n;
    for (i = 0; i < N; i++)
        if (T[i] == n) DF(i, t2, lev+1);
}
==

Operatia de LCA se va realiza apoi foarte usor, urcand pe tatii din intervale, pana se ajunge la doua noduri in acelasi interval, apoi folosindu-se metoda clasica. Cod:

p(pre). {@int LCA(int x, int y)@}
{@{@}
{@    while (T2[x] != T2[y])@}
{@        if (Lev[x] > Lev[y])@}
{@            x = T2[x];@}
{@        else@}
{@            y = T2[y];@}
{@    while (x != y)@}
{@        if (Lev[x] > Lev[y])@}
{@            x = T[x];@}
{@        else@}
{@            y = T[y];@}
{@    return x;@}
{@}@}
 

== code(c) |
int LCA(int x, int y)
{
    while (T2[x] != T2[y])
        if (Lev[x] > Lev[y])
            x = T2[x];
        else
            y = T2[y];
    while (x != y)
        if (Lev[x] > Lev[y])
            x = T[x];
        else
            y = T[y];
    return x;
}
==

h2. LCA in $O(lg^2^ n)$

for-ul in C/C++ este foarte flexibil si poate ajuta foarte mult in compactarea codului, deci si a timpului de implementare. In continuare vom prezenta algoritmul merge sort (sortare prin interclasare) scris in cateva linii (putine, zic eu!):

p(pre). {@int N, A[N], B[N];@}
{@void merge_sort(int l, int r)@}
{@{@}
{@    int m = (l + r) >> 1, i, j, k;@}
{@    if (l @}=={@ r) return;@}
{@    merge_sort(l, m);@}
{@    merge_sort(m + 1, r);@}
{@    for (i=l, j=m+1, k=l; i<=m || j<=r; )@}
{@        if (j > r || (i <= m && A[i] < A[j]))@}
{@            B[k++] = A[i++];@}
{@        else@}
{@            B[k++] = A[j++];@}
{@    for (k = l; k <= r; k++) A[k] = B[k];@}
{@}@}

== code(c) |
int N, A[N], B[N];
void merge_sort(int l, int r)
{
    int m = (l + r) >> 1, i, j, k;
    if (l == r) return;
    merge_sort(l, m);
    merge_sort(m + 1, r);
    for (i=l, j=m+1, k=l; i<=m || j<=r; )
        if (j > r || (i <= m && A[i] < A[j]))
            B[k++] = A[i++];
        else
            B[k++] = A[j++];
    for (k = l; k <= r; k++) A[k] = B[k];
}
==

h2. Recomandari generale

Consideram urmatoarea problema: se da un vector $A$ de $N$ elemente pe care se fac $M$ astfel de operatii: {@ADUNA(st, dr, x)@} - toate elementele cu indicii intre $st$ si $dr$ isi cresc valoarea cu {$x$}. La sfarsit trebuie sa se afiseze vectorul rezultat. In continuarea vom descrie o metoda care ne da un timp de rulare de $O(1)$ pentru operatia $ADUNA$ si $O(N)$ pentru a determina un element din vector. Vom construi un al doilea vector $B$ de $N+1$ elemente, cu proprietatea ca {$A{~i~} = B{~0~} + B{~1~} + ... B{~i~}$}. Astfel, o operatie {@ADUNA(st, dr, x)@} devine:

p(pre). {@B[st] += x;@}
{@B[dr + 1] -= x;@}

== code(c) |
B[st] += x;
[dr + 1] -= x;
==

Da, este chiar asa de simplu! Pentru a determina un element A{~i~} vom aduna pur si simplu {$B{~0~} + B{~1~} + ... B{~i~}$}. Incercati pe foaie sa vedeti cum funtioneaza. Aceasta ideea poate fi extinsa si in doua dimensiuni, construind $B$ astfel incat $A{~i,j~}$ = suma subtabloului din $B$ cu coltul in ({$0, 0$}) si ({$i, j$}), astfel (pt. {@ADUNA(x1,y1,x2,y2,v)@}):

p(pre). {@B[x1][y1] += v;@}
{@B[x1][y2 + 1] -= v;@}
{@B[x2 + 1][y1] -= v;@}
{@B[x2 + 1][y2 + 1] += v;@}

== code(c) |
B[x1][y1] += v;
B[x1][y2 + 1] -= v;
B[x2 + 1][y1] -= v;
B[x2 + 1][y2 + 1] += v;
==

Pe cazul general, daca vrem sa facem operatii in $d$ dimensiuni vom avea o complexitate {$O(2^d^)$}. Reamintesc ca aceasta metoda este eficienta doar cand se vrea afisata vectorul/matricea/etc. doar la sfarsitul operatiilor, deoarece aflarea unui element este o operatie foarte ineficienta.

Se stie (sau ar trebui sa se stie!) ca lucrul cu pointerii este foarte incet... astfel, cand retinem un graf rar (numar mare de noduri, numar mic de muchii) cu pointeri (vezi mai jos) incetinim foarte mult programul.

p(pre). {@struct list@}
{@{@}
{@    int n;@}
{@    struct list *next;@}
{@}@}
{@typedef struct list list;@}

== code(c) |
struct list
{
    int n;
    struct list *next;
}
typedef struct list list;

In contiuare vom prezenta o metoda care este de $3-4$ ori mai rapida (adica parcurgerile DF , BF sau altii algoritmi ruleaza de $3-4$ ori mai rapid cand graful este stocat astfel), dar are ca dezavantaj necesitatea de a citi de doua ori fisierul de intrare.

p(pre). {@#include <stdlib.h>@}
{@#include <stdio.h>@}
{@ @}
{@int N, M, *G[N], Deg[N];@}
{@ @}
{@int main(void)@}
{@{@}
{@ @}
{@    int i, j;@}
{@ @}
{@    freopen("in.txt", "r", stdin);@}
{@    scanf("%d %d", &N, &M);@}
{@    for (; M > 0; M--)@}
{@    {@}
{@        scanf("%d %d", &i, &j);@}
{@        Deg[i - 1]++, Deg[j - 1]++;@}
{@    }@}
{@    for (i = 0; i < N; Deg[i++] = 0)@}
{@        G[i] = (int *) malloc(Deg[i]*sizeof(int));@}
{@    fseek(stdin, 0, SEEK_SET);@}
{@    scanf("%d %d", &N, &M);@}
{@    for (; M > 0; M--)@}
{@    {@}
{@        scanf("%d %d", &i, &j);@}
{@        i--, j--;@}
{@        G[i][Deg[i]++] = j,@}
{@            G[j][Deg[j]++] = i;@}
{@    }@}
{@ @}
{@    return 0;@}
{@}@}

== code(c) |
#include <stdlib.h>
#include <stdio.h>
 
int N, M, *G[N], Deg[N];@}
 
int main(void)@}
{
    int i, j;
 
    freopen("in.txt", "r", stdin);
    scanf("%d %d", &N, &M);
    for (; M > 0; M--)
    {
        scanf("%d %d", &i, &j);
        Deg[i - 1]++, Deg[j - 1]++;
    }
    for (i = 0; i < N; Deg[i++] = 0)
        G[i] = (int *) malloc(Deg[i]*sizeof(int));
    fseek(stdin, 0, SEEK_SET);
    scanf("%d %d", &N, &M);
    for (; M > 0; M--)
    {
        scanf("%d %d", &i, &j);
        i--, j--;
        G[i][Deg[i]++] = j,
            G[j][Deg[j]++] = i;
    }
 
    return 0;
}
==

Sporul de viteza se datoreaza faptului ca se folosesc vectori in loc de pointeri si struct-uri. Daca ne permite memoria putem evita citirea de doua ori a fisierul prin pastrarea muchiilor intr-o lista de muchii si apoi, dupa calcularea gradelor, inserarea muchiilor in liste. Pentru a demonstra eficienta acestei metode faceti urmatorul test: implementati o sursa cu pointeri si struct si implementati un BF, apoi scrieti codul de mai sus cu urmatoarele modificari: