h1. Minimal enclosing circle

(Categoria _Geometrie_, Autor _Bogdan Tataroiu_)

(Categoria _Geometrie analitica_, Autor _Bogdan Tataroiu_)

In cadrul acestui articol vom analiza problema determinarii unui cerc de raza minima ce contine in interior sau pe circumferinta toate punctele dintr-un set dat. Aceasta problema mai poate fi gasita si sub denumirea de _Smallest Enclosing Circle_ sau _Mininum Spanning Circle_.

* {!>minimal-enclosing-circle?figura.png 40%!} Dandu-se doua cercuri de raza {$R{~1~}$} si {$R{~2~}$}, avand {$R{~1~} < R{~2~}$}, atunci intersectia cercului de raza {$R{~2~}$} cu interiorul cercului de raza {$R{~1~}$} formeaza un arc de cerc de lungime mai mica decat {$&pi;$} (cel albastru in poza alaturata). Daca arcul de cerc ar avea o lungime mai mare ca {$&pi;$} atunci acesta ar trebui sa contina 2 puncte diametral opuse, aflate la o distanta de {$2R{~2~}$}, insa in cercul de raza {$R{~1~}$} cea mai mare distanta intre 2 puncte din interiorul sau poate fi maxim {$2R{~1~}$}. Cum {$R{~1~} < R{~2~}$}, acest lucru este imposibil.
* Presupunem prin reducere la absurd ca {$P$} nu apartine circumferintei cercului {$C{~I &#8746; {P}~}$}. Este usor de vazut ca raza cercului {$C{~I~}$} este mai mica ca cea a cercului {$C{~I &#8746; {P}~}$}, deoarece {$C{~I &#8746; {P}~}$} cuprinde un punct care nu este cuprins de {$C{~I~}$}. Daca notam cu {$R{~1~}$} raza cercului {$C{~I~}$} si cu {$R{~2~}$} raza cercului {$C{~I &#8746; {P}~}$}, atunci intersectia cercului {$C{~I &#8746; {P}~}$} cu interiorul cercului {$C{~I~}$} este un arc de cerc de lungime mai mica ca {$&pi;$}.

* Datorita faptului ca {$P$} nu apartine circumferintei cercului {$C{~I ∪ {P}~}$}, punctele care definesc cercul {$C{~I ∪ {P}~}$} se afla printre punctele din setul {$I$}. Cum toate aceste puncte se afla in interiorul cercului {$C{~I~}$} si intersectia cercului {$C{~I ∪ {P}~}$} cu interiorul cercului {$C{~I~}$} este un arc de cerc de lungime mai mica decat {$π$}, punctele care determina cercul {$C{~I ∪ {P}~}$} trebuie sa se afle pe acest arc de cerc. Astfel avem cel putin 2 puncte consecutive pe circumferinta cercului {$C{~I ∪ {P}~}$} care formeaza un arc de cerc de lungime mai mare {$π$} (cel rosu in poza alaturata).

* Datorita faptului ca {$P$} nu apartine circumferintei cercului {$C{~I ∪ {P}~}$}, punctele care definesc cercul {$C{~I ∪ {P}~}$} se afla printre punctele din setul {$I$}. Cum toate aceste puncte se afla in interiorul cercului {$C{~I~}$} si intersectia cercului {$C{~I ∪ {P}~}$} cu interiorul cercului {$C{~I~}$} este un arc de cerc de lungime mai mica decat {$π$}, punctele care determina cercul {$C{~I ∪ {P}~}$} trebuie sa se afle pe acest arc de cerc. Astfel avem cel putin 2 puncte consecutive pe circumferinta cercului {$C{~I ∪ {P}~}$} care formeaza un arc de cerc de lungime mai mare {$π$} (cel albastru in rosu alaturata).

* Acest lucru intra in contradictie cu faptul ca cercul are raza minima. Astfel {$P$} trebuie sa se afle pe circumferinta cercului {$C{~I ∪ {P}~}$}.
Acum trebuie doar sa calculam cel mai mic cerc care contine punctele din setul I in interior si care are punctul {$P$} pe circumferinta. Vom extinde {$C{~I~}$} adaugand un nou parametru. Astfel notam cu {$C{~I,B~}$} cercul de raza minima ce contine setul {$I$} de puncte in interior si punctele din setul {$B$} pe circumferinta (pot exista si alte puncte pe circumferinta, dar cele din setul {$B$} sunt fortate). Cercul de raza minima care contine toate punctele va fi {$C{~S,Ø~}$}.

3684