Pentru fiecare punct {$P$}, putem determina in timp constant daca punctul se afla in interiorului cercului {$C{~I~}$}. In cazul in care {$P$} este inclus in {$C{~I~}$}, atunci {$C{~I+{P}~}$} va fi egal cu {$C{~I~}$}. In caz contrar, trebuie sa schimbam cercul {$C{~I~}$} pentru a cuprinde si acest punct. Cercul ce cuprinde toate punctele va fi evident {$C{~S~}$}, unde {$S$} este setul de puncte dat. Singura problema este cum determinam acel cerc modificat.

!>minimum-enclosing-circle?punctlasatinext.png 62%! La o prima vedere se pare ca trebuie doar sa calculam cel mai mic cerc ce include {$P$} alaturi de cele 3 puncte ce determinau {$C{~I~}$} fara sa mai luam in considerare celelalte puncte din set, insa nu este greu de gasit un caz pentru care raman puncte in exterior, asa cum se vede in poza alaturata.
 

Vom demonstra in continuare ca daca punctul {$P$} se afla in exteriorul cercului {$C{~I~}$}, atunci el trebuie sa fie pe circumferinta cercului {$C{~I+{P}~}$}.
* {!>minimum-enclosing-circle?arccerc.png 75%!} Dandu-se doua cercuri de raza {$R{~1~}$} si {$R{~2~}$}, avand {$R{~1~} < R{~2~}$}, atunci intersectia cercului de raza {$R{~2~}$} cu interiorul cercului de raza {$R{~1~}$} formeaza un arc de cerc de lungime mai mica decat {$&pi;$} (cel albastru in poza alaturata). Daca arcul de cerc ar avea o lungime mai mare ca {$&pi;$} atunci acesta ar trebui sa contina 2 puncte diametral opuse, aflate la o distanta de {$2R{~2~}$}, insa in cercul de raza {$R{~1~}$} cea mai mare distanta intre 2 puncte din interiorul sau poate fi maxim {$2R{~1~}$}. Cum {$R{~1~} < R{~2~}$}, acest lucru este imposibil.