* {!>minimum-enclosing-circle?arccerc.png 75%!} Dandu-se doua cercuri de raza {$R{~1~}$} si {$R{~2~}$}, avand {$R{~1~} < R{~2~}$}, atunci intersectia cercului de raza {$R{~2~}$} cu interiorul cercului de raza {$R{~1~}$} formeaza un arc de cerc de lungime mai mica decat {$&pi;$} (cel albastru in poza alaturata). Daca arcul de cerc ar avea o lungime mai mare ca {$&pi;$} atunci acesta ar trebui sa contina 2 puncte diametral opuse, aflate la o distanta de {$2R{~2~}$}, insa in cercul de raza {$R{~1~}$} cea mai mare distanta intre 2 puncte din interiorul sau poate fi maxim {$2R{~1~}$}. Cum {$R{~1~} < R{~2~}$}, acest lucru este imposibil.
* Presupunem prin reducere la absurd ca {$P{~i+1~}$} nu apartine circumferintei cercului {$C{~i+1~}$}. Este usor de vazut ca raza cercului {$C{~i~}$} este mai mica ca cea a cercului {$C{~i+1~}$}, deoarece {$C{~i+1~}$} cuprinde un punct care nu este cuprins de {$C{~i~}$}. Daca notam cu {$R{~1~}$} raza cercului {$C{~i~}$} si cu {$R{~2~}$} raza cercului {$C{~i+1~}$}, atunci intersectia cercului {$C{~i+1~}$} cu interiorul cercului {$C{~i~}$} este un arc de cerc de lungime mai mica ca {$&pi;$}.

* Datorita faptului ca {$P{~i+1~}$} nu apartine circumferintei cercului {$C{~i+1~}$}, punctele care definesc cercul {$C{~i+1~}$} se afla printre punctele {$P{~1~}$}, {$P{~2~}$}, ..., {$P{~i~}$}. Cum toate aceste puncte se afla in interiorul cercului {$C{~i~}$} si intersectia cercului {$C{~i+1~}$} cu interiorul cercului {$C{~i~}$} este un arc de cerc de lungime mai mica decat {$π$}, punctele care determina cercul {$C{~i+1~}$} trebuie sa se afle pe acest arc de cerc. Astfel avem cel putin 2 puncte consecutive pe circumferinta cercului {$C{~i+1~}$} care formeaza un arc de cerc de lungime mai mare {$π$} (cel albastru in rosu alaturata).

* Datorita faptului ca {$P{~i+1~}$} nu apartine circumferintei cercului {$C{~i+1~}$}, punctele care definesc cercul {$C{~i+1~}$} se afla printre punctele {{$P{~1~}$}, {$P{~2~}$}, ..., {$P{~i~}$}}. Cum toate aceste puncte se afla in interiorul cercului {$C{~i~}$} si intersectia cercului {$C{~i+1~}$} cu interiorul cercului {$C{~i~}$} este un arc de cerc de lungime mai mica decat {$π$}, punctele care determina cercul {$C{~i+1~}$} trebuie sa se afle pe acest arc de cerc. Astfel avem cel putin 2 puncte consecutive pe circumferinta cercului {$C{~i+1~}$} care formeaza un arc de cerc de lungime mai mare {$π$} (cel albastru in rosu alaturata).

* Acest lucru intra in contradictie cu faptul ca cercul are raza minima. Astfel {$P{~i+1~}$} trebuie sa se afle pe circumferinta cercului {$C{~i+1~}$}.

...TODO restul...
...
...
...

Acum trebuie doar sa calculam cel mai mic cerc care contine punctele {{$P{~1~}$}, {$P{~2~}$}, ..., {$P{~i~}$}} in interior si care are {$P{~i+1~}$} pe circumferinta. Notam cu {$D2{~I,C~}$} cercul de raza minima ce contine punctele din setul I in interior si punctele din setul C pe circumferinta in mod obligatoriu. Pentru a determina {$D2{~i,C~}$} vom proceda in mod asemanator ca pana acum. {$D{~i~}$} poate fi scris ca D2{~i,{}~}.

Exercitii: "SPOJ ALIENS":http://www.spoj.pl/problems/ALIENS/