Vom demonstra in continuare ca daca punctul {$P{~i+1~}$} se afla in exteriorul cercului {$C{~i~}$}, atunci el trebuie sa fie pe circumferinta cercului {$C{~i+1~}$}.

* {!>minimum-enclosing-circle?arccerc.png 75%!} Dandu-se doua cercuri de raza {$R{~1~}$} si {$R{~2~}$}, avand {$R{~1~} < R{~2~}$}, atunci intersectia cercului de raza {$R{~2~}$} cu interiorul cercului de raza {$R{~1~}$} formeaza un arc de cerc de lungime mai mica decat {$&pi;$} (cel albastru in poza alaturata). Daca arcul de cerc ar avea o lungime mai mare ca {$&pi;$} atunci acesta ar trebui sa contina 2 puncte diametral opuse, aflate la o distanta de {$2R{~2~}$}, insa in cercul de raza {$R{~1~}$} cea mai mare distanta intre 2 puncte din interiorul sau poate fi maxim {$2R{~1~}$}. Cum {$R{~1~} < R{~2~}$}, acest lucru este imposibil.

 !>minimum-enclosing-circle?arccerc.png 75%! * Dandu-se doua cercuri de raza {$R{~1~}$} si {$R{~2~}$}, avand {$R{~1~} < R{~2~}$}, atunci intersectia cercului de raza {$R{~2~}$} cu interiorul cercului de raza {$R{~1~}$} formeaza un arc de cerc de lungime mai mica decat {$&pi;$} (cel albastru in poza alaturata). Daca arcul de cerc ar avea o lungime mai mare ca {$&pi;$} atunci acesta ar trebui sa contina 2 puncte diametral opuse, aflate la o distanta de {$2R{~2~}$}, insa in cercul de raza {$R{~1~}$} cea mai mare distanta intre 2 puncte din interiorul sau poate fi maxim {$2R{~1~}$}. Cum {$R{~1~} < R{~2~}$}, acest lucru este imposibil.

* Presupunem prin reducere la absurd ca {$P{~i+1~}$} nu apartine circumferintei cercului {$C{~i+1~}$}. Este usor de vazut ca raza cercului {$C{~i~}$} este mai mica ca cea a cercului {$C{~i+1~}$}, deoarece {$C{~i+1~}$} cuprinde un punct care nu este cuprins de {$C{~i~}$}. Daca notam cu {$R{~1~}$} raza cercului {$C{~i~}$} si cu {$R{~2~}$} raza cercului {$C{~i+1~}$}, atunci intersectia cercului {$C{~i+1~}$} cu interiorul cercului {$C{~i~}$} este un arc de cerc de lungime mai mica ca {$π$}.
* Datorita faptului ca {$P{~i+1~}$} nu apartine circumferintei cercului {$C{~i+1~}$}, punctele care definesc cercul {$C{~i+1~}$} se afla printre punctele {$P{~1~}$}, {$P{~2~}$}, ..., {$P{~i~}$}. Cum toate aceste puncte se afla in interiorul cercului {$C{~i~}$} si intersectia cercului {$C{~i+1~}$} cu interiorul cercului {$C{~i~}$} este un arc de cerc de lungime mai mica decat {$π$}, punctele care determina cercul {$C{~i+1~}$} trebuie sa se afle pe acest arc de cerc. Astfel avem cel putin 2 puncte consecutive pe circumferinta cercului {$C{~i+1~}$} care formeaza un arc de cerc de lungime mai mare {$π$} (cel albastru in rosu alaturata).
* Acest lucru intra in contradictie cu faptul ca cercul are raza minima. Astfel {$P{~i+1~}$} trebuie sa se afle pe circumferinta cercului {$C{~i+1~}$}.