h1. LCA: Lowest common ancestor

(Categoria _Arbori_, autor(i) _Miron Emilian_)

(Categoria _Algoritmi_, Autor _Emilian Miron_)

Problema luata in discutie este ca, avand un arbore dat, sa putem raspunde rapid la multe intrebari de genul: _"Care este stramosul comun cel mai apropiat dintre doua noduri din arbore?"_.

h2. Exemplu

(toc)*{text-align:center} *Continut*
* 'Exemplu':lowest-common-ancestor#exemplu
* 'Aplicabilitate':lowest-common-ancestor#aplicabilitate
* 'Mod de calcul':lowest-common-ancestor#calcul

!LCA-Lowest-common-ancestor?euler.jpg!

!> Lowest-common-ancestor?euler.jpg 80%!
 
h2(#exemplu). Exemplu

Pentru arborele din imagine, avem ca exemplu urmatoarele query-uri:

* $lca(1,5) = 1$
* $lca(5,3) = 3$

h2. Aplicabilitate

h2(#aplicabilitate). Aplicabilitate

Dandu-se un arbore cu costuri sa se raspunda rapid la intrebari de genul: _"care este distanta minima intre doua noduri date?"_. O solutie pentru problema de fata ar fi:

* precalculam cele necesare pentru algoritmul de _Lowest Common Ancestor_
* distanta dintre doua noduri oarecare $i$ si $j$ va fi egala cu {$dist{~i~} + dist{~j~} - 2*dist{~lca(i,j)~}$}

h2. Mod de calcul

h2(#calcul). Mod de calcul

In prima etapa a algoritmului facem o parcurgere euleriana a arborelui dat. O parcurgere euleriana este o parcurgere a arborelui in ordinea din figura: se parcurg fii si se intercaleaza intre ei tatal, obtinand o parcurgere continua.

In prima etapa a algoritmului facem o parcurgere euleriana a arborelui dat. O parcurgere euleriana este o parcurgere a arborelui in ordinea din figura: se parcurg fiii si se intercaleaza intre ei tatal, obtinand o parcurgere continua.

Mai exact pentru fiecare nod procedam astfel, incepand cu radacina:

Pentru perechea de noduri ({$4, 3$}), avem {$lca(4, 3)$} egal cu nodul care se gaseste intre {$poz{~4~}$} si {$poz{~3~}$} in parcurgerea euler si are adancimea minima. Acest nod este $1$, deci {$lca(4, 3) = 1$}.

Am redus problema la aflarea minimului intre doua pozitii ale unui sir ({_Range Minimum Query_}). Aceasta subproblema o putem rezolva optim folosind arbori de intervale, sau o metoda folosind spatiu supraliniar ({$Nlog{~2~}N$}) a minimelor pe intervale de puteri ale lui {$2$}, incepand de la pozitia {$i$}. Timpul de preprocesare este {~O(N)~} pentru arbori de intervale si {$O(Nlog{~2~}N)$} pentru a doua metoda. In ambele variante timpul de interogare este {$O(log{~2~}N)$}.

Am redus problema la aflarea minimului intre doua pozitii ale unui sir ({_Range Minimum Query_}). Aceasta subproblema o putem rezolva optim folosind arbori de intervale, sau o metoda folosind spatiu supraliniar ({$Nlog{~2~}N$}) a minimelor pe intervale de puteri ale lui {$2$}, incepand de la pozitia {$i$}. Timpul de preprocesare este {$O(N)$} pentru arbori de intervale si {$O(Nlog{~2~}N)$} pentru a doua metoda. In ambele variante timpul de interogare este {$O(log{~2~}N)$}.
 

Vom prezenta in continuare metoda cu spatiu supraliniar. Calculam minimele inductiv, pastrand:
* {$min{~i,k~}$} = minimul pe intervalul {$[i...i+2^k^-1]$} (de lungime {$2^k^$}), si

     {$pozmin(l, r)$} = pozitia minimului intre $l$ si $r$
Daca {$l = pos{~i~}$} si {$r = pos{~j~}$} ({$pos{~i~} < pos{~j~}$}) la sfarsitul _query_-ului {$euler{~pozmin~}$} este chiar {$lca(i, j)$}.

3699