S-a apelat caderea incepand de la al $N/2$ - lea nod, deoarece s-a aratat ca acesta este ultimul nod care mai are fii, restul fiind frunze. Sa calculam acum complexitatea acestui algoritm. Un calcul sumar ar putea spune: exista $N$ noduri, fiecare din ele se "cerne" pe $O(log N)$ nivele, deci timpul de constructie a heap-ului este $O(N log N)$. Totusi nu este asa. Presupunem ca ultimul nivel al heap-ului este plin. In acest caz, jumatate din noduri vor fi frunze si nu se vor cerne deloc. Un sfert din noduri se vor afla deasupra lor si se vor cerne cel mult un nivel. O optime din noduri se vor putea cerne cel mult doua nivele, si asa mai departe, pana ajungem la radacina care se afla singura pe nivelul ei si va putea cadea maxim h nivele (reamintim <tex> h=[\log_2 N] </tex>). Rezulta ca timpul total de calcul este dat de formula <tex> O({\sum_{k=1}^{[\log_2 N]} k} \times \frac{N}{2^{k+1}}) = O(N) </tex>. Demonstrarea egalitatii se poate face facand substitutia $N=2^h^$ si continuand calculele. Se va obtine tocmai complexitatea $O(2^h^)$; lasam aceasta verificare ca tema cititorului.

h2. Eliminarea unui element

h2. Eliminarea unui element stiind pozitia lui in heap

Daca eliminam un element din heap, trebuie numai sa refacem structura de heap. In locul nodului eliminat s-a creat un gol, pe care trebuie sa il umplem cu un alt nod. Care ar putea fi acela ? Intrucat trebuie ca toate nivelele sa fie complet ocupate, cu exceptia ultimului, care poate fi gol numai in partea sa dreapta, rezulta ca singurul nod pe care il putem pune in locul celui eliminat este ultimul din heap. Odata ce l-am pus in gaura facuta, trebuie sa ne asiguram ca acest nod "de umplutura" nu strica proprietatea de heap. Deci vom verifica: daca nodul pus in loc este mai mare ca tatal sau, vom apela procedura Percolate. Altfel vom apela procedura Sift, in eventualitatea ca nodul este mai mic decat unul din fiii sai. Iata exemplul de mai jos:

*TODO*: Smenul folosit la Dijkstra -- pastrarea unui vector adiacent cu pozitia fiecarui element in heap!
 
Daca eliminam un element din heap, trebuie numai sa refacem structura de heap. In locul nodului eliminat s-a creat un gol, pe care trebuie sa il umplem cu un alt nod. Care ar putea fi acela? Intrucat trebuie ca toate nivelele sa fie complet ocupate, cu exceptia ultimului, care poate fi gol numai in partea sa dreapta, rezulta ca singurul nod pe care il putem pune in locul celui eliminat este ultimul din heap. Odata ce l-am pus in gaura facuta, trebuie sa ne asiguram ca acest nod "de umplutura" nu strica proprietatea de heap. Deci vom verifica: daca nodul pus in loc este mai mare ca tatal sau, vom apela procedura Percolate. Altfel vom apela procedura Sift, in eventualitatea ca nodul este mai mic decat unul din fiii sai. Iata exemplul de mai jos:

!heapuri?delete1.JPG!