|
Definim Xn = +1 cu probabilitatea p sau -1 cu probabilitatea (1-p) -> al n-lea pas al furnicii
Sn = suma 1_n Xn -> pozitia de la momentul n a furnicii
N = min {n | Sn = 0} -> momentul de oprire
Pr = P(furnica moare) = suma 1_inf P(furnica moare la pasul i) = suma 1_inf P(N=i) = suma 1_inf p*P(N=i | X1=1) + (1-p)*P(N=i | X1=-1)
unde, in ultima egalitate am conditionat dupa primul pas, ie:
P(N=i) = P(N=i, X1=1) + P(N=i, X1=-1) = P(N=i | X1=1)*P(X1=1) + P(N=i | X1=-1)*P(X1=-1) = p*P(N=i | X1=1) + (1-p)*P(N=i | X1=-1)
prima egalitate conform legii probabilitatii totale, iar cea de-a doua egalitate conform definitiei probabilitatilor conditionale.
Primul termen (i=1) din suma de mai sus este:
p*P(N=1 | X1=1) + (1-p)*P(N=1 | X1=-1) = p*0 + (1-p)*1 = 1-p
Deci,
Pr = 1-p + suma 2_inf p*P(N=i | X1=1) + (1-p)*P(N=i | X1=-1)
dar
P(N=i | X1=-1) = 0 pentru i>1 fiindca furnica a cazut deja in gaura la pasul 1.
Pr = 1-p + suma 2_inf p*P(N=i | X1=1)
Acum,
P(N=i | X1=1) = P (furnica incepe de la 1 si ajunge prima data la 0 in i pasi, stiind ca primul pas este +1)
= P (furnica incepe de la 2 si ajunge prima data la 0 in i-1 pasi)
= P (furnica incepe de la 2 si ajunge prima data la 1 in i-1 pasi, iar apoi urmeaza un pas -1)
= (1-p) * P (furnica incepe de la 2 si ajunge prima data la 1 in i-1 pasi)
= (1-p) * P(N=i-1)
fiindca doar am shiftat problema cu +1.
Pr = 1-p + suma 2_inf p*(1-p) * P(N=i-1)
= 1-p + p*(1-p) * suma 2_inf P(N=i-1)
= 1-p + p*(1-p) * suma 1_inf P(N=i)
= 1-p + p*(1-p) * Pr
Deci,
Pr = (1-p) / [1-p*(1-p)]
Pentru p=2/3, avem Pr = 3/7 = aprox 0.43
Nota:
* simple random walk (ie pasii posibili sunt +/-1)
* sper sa nu fi facut greseli in rationament
* am scris cele de mai sus in graba, ar fi fost frumos sa fie in LaTeX.
|
Afişează mesaje
