In continuare vom nota acest cod cu $G{~n~}$. Putem da astfel o noua metoda de constructie. Fie $G'{~n-1~}$ sirul $G{~n-1~}$ inversat, atunci obtinem $G{~n~}$ daca punem cate un bit $0$ in fata fiecarui numar din $G{~n-1~}$, urmat de numerele din $G'{~n-1~}$, carora le adaugam cate un $1$ ca bit semnificativ ( pe scurt $G{~n~} = 0G{~n-1~},1G'{~n-1~} (1)$). Se poate observa ca acest cod este circular, diferenta intre ultimul si primul numar fiind de exact un bit. De asemenea, orice cod de ordin $n$ il contine pe cel de $n-1$ ca prefix, deci am putea nota prin $G{~∞~}$ sirul numerelor naturale in care orice doua numere consecutive difera in reprezentarea binara prin exact un bit si pentru care sirul primelor $2^n^$ elemente coincide cu $G{~n~}$ (∀ $n$ ∈ _**N**_).

Fie $g(x)$ al $x$-lea numar din $G{~∞~}$ si $g-1(y)$ pozitia la care apare numarul $y$ in sirul $G{~∞~}$. Se pune problema calcularii eficiente a celor doua functii. Se poate demonstra prin inductie ca daca avem un numar $x$ cu reprezentarea binara $(...a{~2~}a{~1~}a{~0~}){~2~}$ si codul lui Gray $(...b{~2~}b{~1~}b{~0~}){~2~}$, atunci avem $b{~i~} = a{~i~} ^∧^ a{~i+1~}$ (2). De exemplu, pentru numarul $6$ cu reprezentarea binara $110$, atunci $g(110) = 101$. De aici se deduce ca $g(i) = x ^∧^ (x / 2)$. Din (2) obtinem ca $b{~i~} ^∧^ b{~i+1~} ^∧^ b{~i+2~} ^∧^ ... = (a{~i~} ^∧^ a{~i+1~}) ^∧^ (a{~i+1~} ^∧^ a{~i+2~}) ^∧^ (a{~i+2~} ^∧^ a{~i+3~}) ^∧^ ... = a{~i~}$. Suma este finita deoarece va exista un $b{~i~}$ egal cu $0$ si un $a{~i~}$ egal cu $0$ (daca $i$ este indeajuns de mare). Rezulta astfel ca $g-1(y) = y ^∧^ y/2 ^∧^ y/4 ^∧^ ...$

Fie $g(x)$ al $x$-lea numar din $G{~∞~}$ si $g-1(y)$ pozitia la care apare numarul $y$ in sirul $G{~∞~}$. Se pune problema calcularii eficiente a celor doua functii. Se poate demonstra prin inductie ca daca avem un numar $x$ cu reprezentarea binara $(...a{~2~}a{~1~}a{~0~}){~2~}$ si codul lui Gray $(...b{~2~}b{~1~}b{~0~}){~2~}$, atunci avem $b{~i~} = a{~i~} ^∧^ a{~i+1~}$ (2). De exemplu, pentru numarul $6$ cu reprezentarea binara $110$, atunci $g(110) = 101$. De aici se deduce ca $g(x) = x ^∧^ (x / 2)$. Din (2) obtinem ca $b{~i~} ^∧^ b{~i+1~} ^∧^ b{~i+2~} ^∧^ ... = (a{~i~} ^∧^ a{~i+1~}) ^∧^ (a{~i+1~} ^∧^ a{~i+2~}) ^∧^ (a{~i+2~} ^∧^ a{~i+3~}) ^∧^ ... = a{~i~}$. Suma este finita deoarece va exista un $b{~i~}$ egal cu $0$ si un $a{~i~}$ egal cu $0$ (daca $i$ este indeajuns de mare). Rezulta astfel ca $g-1(y) = y ^∧^ y/2 ^∧^ y/4 ^∧^ ...$

Din cele de mai sus obtinem urmatoarele metode:

3686