Putina teorie:

Functiile convexe sunt functiile pentru care graficul lor se afla sub orice segment de dreapta ce uneste doua puncte ale graficului. Mai formal, avem ca daca f:X->R unde x e un domeniu convex (interval etc.) atunci pentru oricare doua puncte x1 si x2 din X si orice t din intervalul [0, 1] avem ca f(tx1 + (1-t)x2) <= tf(x1) + (1-t)f(x2).

O functie convexa este o functie pentru care daca alegem doua puncte

E simplu de demonstrat ca suma a doua functii convexe e tot o functie convexa. Functiile strict convexe au proprietatile interesante ca ele au doar un minim local care este si global si ca maximul pentru o functie convexa e realizat pe marginea domeniului de definitie.
 
In cazul problemei noastre, functia distanta e o functie strict convexa si o combinatia din problema 2dist(M, A) + dist(M, B) + dist(M, C) este si ea o functie convexa. Si cum maximul pentru functii de genul asta e realizat in capete, ne e deajuns sa ne uitam la valoarea functiei in punctele A, B si C. Astfel vedem ca C e punctul cautat.
 
Am vrut sa vad cum se comporta functia si am facut un grafic folosind octave.
 
Aveti aici codul si mai jos graficul.

== code(c) |

#include <cstdio>

dist = @(x, y, x1, y1) sqrt((x - x1).^2 + (y - y1).^2)
sumt = @(x, y) 2 * dist(x, y, 0, 0) + dist(x, y, 3, 0) + dist(x, y, 0, 4)
x=linspace(0, 3, 50)