Putina teorie:

O functie convexa este o functie pentru care daca alegem doua puncte

Functiile convexe sunt functiile pentru care graficul lor se afla sub orice segment de dreapta ce uneste doua puncte ale graficului. Mai formal, avem ca daca f:X->R unde x e un domeniu convex (interval etc.) atunci pentru oricare doua puncte x1 si x2 din X si orice t din intervalul [0, 1] avem ca f(tx1 + (1-t)x2) <= tf(x1) + (1-t)f(x2).
E simplu de demonstrat ca suma a doua functii convexe e tot o functie convexa. Functiile strict convexe au proprietatile interesante ca ele au doar un minim local care este si global si ca maximul pentru o functie convexa e realizat pe marginea domeniului de definitie.
 
In cazul problemei noastre, functia distanta e o functie strict convexa si o combinatia din problema 2dist(M, A) + dist(M, B) + dist(M, C) este si ea o functie convexa. Si cum maximul pentru functii de genul asta e realizat in capete, ne e deajuns sa ne uitam la valoarea functiei in punctele A, B si C. Astfel vedem ca C e punctul cautat.
 
Am vrut sa vad cum se comporta functia si am facut un grafic folosind octave.
 
Aveti aici codul si mai jos graficul.

== code(c) |

#include <cstdio>

dist = @(x, y, x1, y1) sqrt((x - x1).^2 + (y - y1).^2)
sumt = @(x, y) 2 * dist(x, y, 0, 0) + dist(x, y, 3, 0) + dist(x, y, 0, 4)
x=linspace(0, 3, 50)