Relatiile de recurenta sunt urmatoarele:

* $cmin[ i ][ j ][ 0 ]$ = <tex> min_{0 \le j' < j}\{cmin[i-1][j'][1] + a_{j} + \sum_{p = j' + 1}^j c_{p} * (d_{j} - d_{p})\} </tex>
* $cmin[ i ][ j ][ 1 ]$ = <tex> min_{1 \le j' \le j}\{cmin[i][j'][0] + \sum_{p = j' + 1}^j c_{p} * (d_{p} - d_{j'})\} </tex>

* $cmin[ i ][ j ][ 0 ]$ = <tex> \displaystyle min_{0 \le j' < j}\{cmin[i-1][j'][1] + a_{j} + \sum_{p = j' + 1}^j c_{p} * (d_{j} - d_{p})\} </tex>
* $cmin[ i ][ j ][ 1 ]$ = <tex> \displaystyle min_{1 \le j' \le j}\{cmin[i][j'][0] + \sum_{p = j' + 1}^j c_{p} * (d_{p} - d_{j'})\} </tex>

Valorile initiale sunt:

* $cright[i] =$ suma costurilor de a transporta cantitatile necesare de combustibil de la benzinaria $N$ la fiecare din benzinariile $[i..N]$ ; $cright[i] = cright[i+1] + c[i] * (d[N] - d[i])$
* $cleft[i] =$ suma costurilor de a transporta cantitatea dorita de combustibil de la benzinaria $N$ la benzinariile $[i..N]$ ; $cleft[i] = cleft[i-1] + c[i] * (d[i] - d[ 1 ])$

Cu acesti vectori, <tex> \sum_{p = j' + 1}^j c_{p} * (d_{j} - d_{p}) </tex> se scrie ca fiind egala cu $cright[j{~1~}+1] - cright[j+1] - (csum[j] - csum[j{~1~}]) * (d[N] - d[j])$. In mod similar, <tex> \sum_{p = j' + 1}^j c_{p} * (d_{p} - d_{j'}) </tex> se scrie ca fiind egala cu $cleft[j] - cleft[j{~1~}] - (csum[j] - csum[j{~1~}])*(d[j{~1~}] - d[ 1 ])$.

Cu acesti vectori, <tex> \displaystyle\sum_{p = j' + 1}^j c_{p} * (d_{j} - d_{p}) </tex> se scrie ca fiind egala cu $cright[j{~1~}+1] - cright[j+1] - (csum[j] - csum[j{~1~}]) * (d[N] - d[j])$. In mod similar, <tex> \displaystyle\sum_{p = j' + 1}^j c_{p} * (d_{p} - d_{j'}) </tex> se scrie ca fiind egala cu $cleft[j] - cleft[j{~1~}] - (csum[j] - csum[j{~1~}])*(d[j{~1~}] - d[ 1 ])$.

Solutia optima are, insa, complexitatea $O(N*K)$ si se bazeaza pe urmatoarele concepte: pentru fiecare $i$ de la $1$ la $K$ si fiecare pozitie $j$ de la $1$ la $N$ vom defini doua functii $f{~i,j~}$ si $g{~i,j~}$, pe care le vom folosi in calculul valorilor $cmin[ i ][ j ][ 0 ]$ si $cmin[ i ][ j ][ 1 ]$.

Pentru fiecare pozitie j, vom defini functia f{~i,j~}:[d[j],d[N]] -> int. O valoare a acestei functii intr-un punct d[p], corespunzator benzinariei p, f{~i,j~}(d[p]), reprezinta costul minim pentru a amplasa i depozite in benzinariile 1,2,..,p, in conditiile in care al i-lea depozit este in benzinaria p, iar benzinariile j, j+1, .., p sunt alimentate cu combustibil de la depozitul din benzinaria p. Cu aceste definitii, valoarea lui cmin[ i ][ j ][ 0 ] este minimul dintre valorile functiilor f{~i,j{~1~}~}, in punctul d[j], cu 0<=j{~1~}<j, la care se adauga valoarea a[j]. Problema importanta este cum aflam minimul dintre aceste functii, fara a calcula valoarea fiecarei functii in punctul d[j] (care ar conduce la o complexitate O(N^2^*K)).

Formula unei functii f{~i,j~}(d[p]) este: <tex> cmin[ i-1 ][ j-1 ][ 1 ] + \sum_{q = j}^p c_{q} * (d_{p} - d_{q}) </tex> . Diferenta dintre 2 valori consecutive ale functiei, df{~i,j~}(d[p+1]) = f{~i,j~}(d[p+1]) - f{~i,j~}(d[p]), este egala cu (c[j]+c[j+1] + .. + c[p]) * (d[p+1] - d[p]). Asadar, de la un pas la altul, functiile f{~i,j~} care au un j mai mic cresc mai mult decat cele care corespund unei pozitii j mai mari (altfel spus, functiile care au aparut mai recent cresc mai incet decat functiile care au aparut de mai mult timp) : df{~i,j~}(d[p+1]) < df{~i,j{~1~}~}(d[p+1]), daca j{~1~} < j. De aici tragem urmatoarele concluzii:

Formula unei functii f{~i,j~}(d[p]) este: <tex> \displaystyle cmin[ i-1 ][ j-1 ][ 1 ] + \sum_{q = j}^p c_{q} * (d_{p} - d_{q}) </tex> . Diferenta dintre 2 valori consecutive ale functiei, df{~i,j~}(d[p+1]) = f{~i,j~}(d[p+1]) - f{~i,j~}(d[p]), este egala cu (c[j]+c[j+1] + .. + c[p]) * (d[p+1] - d[p]). Asadar, de la un pas la altul, functiile f{~i,j~} care au un j mai mic cresc mai mult decat cele care corespund unei pozitii j mai mari (altfel spus, functiile care au aparut mai recent cresc mai incet decat functiile care au aparut de mai mult timp) : df{~i,j~}(d[p+1]) < df{~i,j{~1~}~}(d[p+1]), daca j{~1~} < j. De aici tragem urmatoarele concluzii:

* daca valoarea unei functii fi,j(d[p+1]) este mai mare decat valoarea unei functii f{~i,j{~1~}~}(d[p+1]), cu j{~1~}>j, atunci functia f{~i,j~} nu va mai avea niciodata valoarea minima dintre toate functiile la nici unul din pasii ulteriori.
* daca valoarea unei functii f{~i,j~}(d[p+1]) este mai mica decat valoarea unei functii f{~i,j{~1~}~}(d[p+1]), cu j{~1~}>j, atunci functia f{~i,j~} va fi 'depasita' de functia f{~i,j{~1~}~} intr-un punct x{~j,j{~1~}~} ; maximul dupa j dinte valorile x{~j,j{~1~}~} reprezinta punctul minim posibil la care functia f{~i,j{~1~}~} va avea valoarea minima dintre toate functiile dinaintea ei.