Diferente pentru
2-sat intre reviziile
#68 si
#90
Diferente intre titluri:
Problema satisfiabilității formulelor logice de ordinul doi
Problema 2-satisfiabilității
Diferente intre continut:
h1. Problema satisfiabilităţii formulelor logice de ordinul doi
h1. Problema 2-satisfiabilităţii
== include(page="template/implica-te/scrie-articole" user_id="marius") ==
* {'Soluţii pentru 2-SAT':2-sat#solutii-2-sat}
** {'Soluţie $O(M * 2^N^)$':2-sat#solutie-1}
** {'Soluţie $O(N * M)$':2-sat#solutie-2}
** {'Soluţie $O(N^2^)$':2-sat#solutie-3}
** {'Soluţie $O(N^2^ * M)$':2-sat#solutie-3}
** {'Soluţie $O(M + N)$':2-sat#solutie-4}
* {'Aplicaţii':2-sat#aplicatii}
** {'Party (preONI 2003/2004)':2-sat#party}
** {'Cigraf':2-sat#cigraf}
** {'Peace Commission (Polish Olympiad in Informatics, 2001)':2-sat#peace-commission}
** {'Excursion (Baltic Olympiad in Informatics, 2001)':2-sat#excursion}
** {'Orpath (Olimpiadă Rusia)':2-sat#orpath}
** {'Aladdin (Bursele Agora 2005/2006, Runda 1)':2-sat#aladdin}
* {'Probleme propuse':2-sat#probleme}
* {'Bibliografie':2-sat#bibliografie}
h2(#introducere). Introducere
h3(#solutie-2). Soluţie $O(N * M)$
Următoarea soluţie pare trivială, dar găsirea acestui algoritm şi realizarea faptului că el rezolvă corect problema sunt mai grele decât impresia lăsată după citirea ei. Considerăm o propoziţie oarecare cu două variabile $p$ şi $q$, apoi una dintre ele, de exemplu $p$. îi atribuim literalului în care apare $p$ valoarea $0$. Pentru ca propoziţia respectivă să aibă $1$ valoarea de adevăr, atunci valoarea lui $q$ trebuie fixată. Fixând şi valoarea lui $q$, probabil şi alte propoziţii ce conţin literalul $q$ vor avea celălalt literal fixat. Propagăm astfel o serie de schimbări. După ce toate schimbările forţate au fost făcute, propoziţiile rezultate vor fi de următoarele tipuri: <tex> a \vee b </tex>, <tex> 1 \vee 0 </tex>, <tex> 1 \vee 1 </tex>, <tex> 1 \vee b </tex>. Propoziţii de tip <tex> 0 \vee b </tex> nu pot apărea pentru că toate schimbările forţate au fost deja propagate. Dacă apare o propoziţie <tex> 0 \vee 0 </tex> atunci alegerea făcută pentru valoarea lui $p$ este greşită. Vom încerca şi alegerea opusă pentru $p$. Dacă ambele duc la o propoziţie de tip <tex> 0 \vee 0 </tex> atunci expresia nu poate fi satisfăcută. Propoziţiile de forma <tex> 1 \vee 0 </tex>, <tex> 1 \vee 1 </tex>, <tex> 1 \vee b </tex> pot fi ignorate. în acest fel am eliminat cel puţin o variabilă şi o propoziţie din expresie. Dacă expresia iniţială era satisfiabilă, atunci şi expresia din care s-au eliminat câteva propoziţii a rămas satisfiabilă. Continuând pe această idee obţinem un algoritm de complexitate $O(N * M)$, pentru că la fiecare atribuire de valoare pentru o variabilă parcurgem şirul de propoziţii o dată.
Următoarea soluţie pare trivială, dar găsirea acestui algoritm şi realizarea faptului că el rezolvă corect problema sunt mai grele decât impresia lăsată după citirea ei. Considerăm o propoziţie oarecare cu două variabile $p$ şi $q$, apoi una dintre ele, de exemplu $p$. Îi atribuim literalului în care apare $p$ valoarea $0$. Pentru ca propoziţia respectivă să aibă $1$ valoarea de adevăr, atunci valoarea lui $q$ trebuie fixată. Fixând şi valoarea lui $q$, probabil şi alte propoziţii ce conţin literalul $q$ vor avea celălalt literal fixat. Propagăm astfel o serie de schimbări. După ce toate schimbările forţate au fost făcute, propoziţiile rezultate vor fi de următoarele tipuri: <tex> a \vee b </tex>, <tex> 1 \vee 0 </tex>, <tex> 1 \vee 1 </tex>, <tex> 1 \vee b </tex>. Propoziţii de tip <tex> 0 \vee b </tex> nu pot apărea pentru că toate schimbările forţate au fost deja propagate. Dacă apare o propoziţie <tex> 0 \vee 0 </tex> atunci alegerea făcută pentru valoarea lui $p$ este greşită. Vom încerca şi alegerea opusă pentru $p$. Dacă ambele duc la o propoziţie de tip <tex> 0 \vee 0 </tex> atunci expresia nu poate fi satisfăcută. Propoziţiile de forma <tex> 1 \vee 0 </tex>, <tex> 1 \vee 1 </tex>, <tex> 1 \vee b </tex> pot fi ignorate. În acest fel am eliminat cel puţin o variabilă şi o propoziţie din expresie. Dacă expresia iniţială era satisfiabilă, atunci şi expresia din care s-au eliminat câteva propoziţii a rămas satisfiabilă. Continuând pe această idee obţinem un algoritm de complexitate $O(N * M)$, pentru că la fiecare atribuire de valoare pentru o variabilă parcurgem şirul de propoziţii o dată.
Să vedem cum funcţionează algoritmul pentru expresia: <tex> (x_{1} \vee \sim x_{2}) \wedge (\sim x_{1} \vee \sim x_{3}) \wedge (x_{1} \vee x_{2}) \wedge (x_{4} \vee \sim x_{3}) \wedge (x_{4} \vee \sim x_{1}) </tex>. Considerăm propoziţia <tex> (x_{1} \vee \sim x_{2}) </tex> şi <tex> \langle x_{2} = 1 \rangle </tex>. Astfel, vom obţine mai departe <tex> (x_{1} \vee 0) \wedge (\sim x_{1} \vee \sim x_{3}) \wedge (x_{1} \vee 1) \wedge (x_{4} \vee \sim x_{3}) \wedge (x_{4} \vee \sim x_{1}) </tex>. în propoziţia <tex> (x_{1} \vee 0) </tex>, <tex> x_{1} </tex> trebuie să fie egal cu <tex> 1 </tex>. Acum, expresia devine: <tex> (0\ \vee \sim x_{3}) \wedge (x_{4} \vee \sim x_{3}) \wedge (x_{4} \vee 0) </tex>. Din propoziţia <tex> (0\ \vee \sim x_{3}) </tex> obţinem <tex> \langle x_{3} = 0 \rangle </tex>, iar din <tex> (x_{4} \vee 0) </tex> obţinem <tex> \langle x_{4} = 1 \rangle </tex>. Deci, atribuirea satisfiabilă este <tex> \langle x_{1} = 1, x_{2} = 0, x_{3} = 0, x_{4} = 1 \rangle </tex>.
Să vedem cum funcţionează algoritmul pentru expresia: <tex> (x_{1} \vee \sim x_{2}) \wedge (\sim x_{1} \vee \sim x_{3}) \wedge (x_{1} \vee x_{2}) \wedge (x_{4} \vee \sim x_{3}) \wedge (x_{4} \vee \sim x_{1}) </tex>. Considerăm propoziţia <tex> (x_{1} \vee \sim x_{2}) </tex> şi <tex> \langle x_{2} = 1 \rangle </tex>. Astfel, vom obţine mai departe <tex> (x_{1} \vee 0) \wedge (\sim x_{1} \vee \sim x_{3}) \wedge (x_{1} \vee 1) \wedge (x_{4} \vee \sim x_{3}) \wedge (x_{4} \vee \sim x_{1}) </tex>. În propoziţia <tex> (x_{1} \vee 0) </tex>, <tex> x_{1} </tex> trebuie să fie egal cu <tex> 1 </tex>. Acum, expresia devine: <tex> (0\ \vee \sim x_{3}) \wedge (x_{4} \vee \sim x_{3}) \wedge (x_{4} \vee 0) </tex>. Din propoziţia <tex> (0\ \vee \sim x_{3}) </tex> obţinem <tex> \langle x_{3} = 0 \rangle </tex>, iar din <tex> (x_{4} \vee 0) </tex> obţinem <tex> \langle x_{4} = 1 \rangle </tex>. Deci, atribuirea satisfiabilă este <tex> \langle x_{1} = 1, x_{2} = 1, x_{3} = 0, x_{4} = 1 \rangle </tex>.
h3(#solutie-3). Soluţie $O(N^2^)$
h3(#solutie-3). Soluţie $O(N^2^ * M)$
O altă soluţie elegantă se bazează pe o metodă randomizată:
<tex> T(0) = 0 </tex>
<tex> T(i) \le \frac {T(i + 1) + T(i - 1)}{2} + 1 </tex> pentru $0 < i < N$ ({$N$} e numărul de variabile booleene ale expresiei)
<tex> T(i) \le \dfrac {T(i + 1) + T(i - 1)}{2} + 1 </tex> pentru $0 < i < N$ ({$N$} e numărul de variabile booleene ale expresiei)
Se pune semnul de inegalitate pentru că ambele variabile pot avea valori diferite faţă de cele din soluţie, deci schimbarea valorii oricăreia ar putea să ne aducă mai aproape de soluţie.
Ne interesează numai limitele superioare, deci folosim doar egalităţi în loc de inegalităţi:
<tex> X(0) = 0 </tex>, <tex> X(i) = \frac {X(i + 1) + X(i - 1)}{2} + 1 </tex>, <tex> X(N) = X(N - 1) + 1 </tex>
<tex> X(0) = 0 </tex>, <tex> X(i) = \dfrac {X(i + 1) + X(i - 1)}{2} + 1 </tex>, <tex> X(N) = X(N - 1) + 1 </tex>
Dacă adunăm toate ecuaţiile obţinem:
<tex> X(0) + X(1) + ... + X(N) = </tex> <tex> \frac {X(0) + X(1) + 2X(2) + ... + 2X(N - 2) + X(N - 1) + X(N)}{2} + X(N) + N - 1 </tex>
<tex> X(0) + X(1) + ... + X(N) = </tex> <tex> \dfrac {X(0) + X(1) + 2X(2) + ... + 2X(N - 2) + X(N - 1) + X(N)}{2} + X(N) + N - 1 </tex>
De aici avem că <tex> \frac {X(1) + X(N - 1) - X(N)}{2} = N - 1 </tex>, iar din <tex> X(N) = X(N - 1) + 1 </tex> rezultă că <tex> X(1) = 2N - 1 </tex>. Mai departe avem că <tex> X(2) = 4N - 4 </tex> <tex> ... </tex> <tex> X(i) = 2iN - i^2 </tex>, de unde, când <tex> i = N </tex>, avem că <tex> X(N) = N^2 </tex>.
De aici avem că <tex> \dfrac {X(1) + X(N - 1) - X(N)}{2} = N - 1 </tex>, iar din <tex> X(N) = X(N - 1) + 1 </tex> rezultă că <tex> X(1) = 2N - 1 </tex>. Mai departe avem că <tex> X(2) = 4N - 4 </tex> <tex> ... </tex> <tex> X(i) = 2iN - i^2 </tex>, de unde, când <tex> i = N </tex>, avem că <tex> X(N) = N^2 </tex>.
Astfel, numărul mediu de paşi ai algoritmului este pătratic în numărul $N$ de variabile. Lăsând algoritmul să ruleze de 2-3 ori mai mulţi paşi decât numărul mediu, avem o probabilitate foarte mare să ajungem la rezultat.
h3(#solutie-4). Soluţie $O(M + N)$
O a treia soluţie se bazează pe relaţia de implicaţie. Relaţia <tex> \rightarrow </tex> are următoarea tabelă de adevăr:
O a treia soluţie se bazează pe relaţia de implicaţie. Aceasta are următoarea tabelă de adevăr:
table{width: 90px; text-align: center}. | <tex> A </tex> | <tex> B </tex> | <tex> A \rightarrow B </tex> |
| <tex> 0 </tex> | <tex> 0 </tex> | <tex> 1 </tex> |
| <tex> 1 </tex> | <tex> 0 </tex> | <tex> 0 </tex> |
| <tex> 1 </tex> | <tex> 1 </tex> | <tex> 1 </tex> |
Fiecare clauză <tex> A \vee B </tex> poate fi scrisă ca două implicaţii <tex> \sim A \rightarrow B </tex> şi <tex> \sim B \rightarrow A </tex>. Realizăm un graf al implicaţiilor. Astfel, nodurile grafului vor fi variabilele <tex> A </tex>, <tex> B </tex> <tex> ... </tex> şi negaţiile lor <tex> \sim A </tex>, <tex> \sim B </tex> <tex> ... </tex> iar muchiile acestui graf vor fi implicaţiile echivalente cu propoziţiile din expresie. Deci, dacă expresia are $M$ propoziţii, graful va avea $2M$ muchii. Acestea fiind zise, expresiei <tex> (\sim A \vee \sim B) \wedge (B \vee \sim C) \wedge (B \vee C) \wedge (\sim B \vee \sim D) \wedge (C \vee D) </tex> îi corespunde graful:
Fiecare clauză <tex> A \vee B </tex> poate fi scrisă ca două implicaţii <tex> (\sim A \rightarrow B) </tex> şi <tex> (\sim B \rightarrow A) </tex>. Realizăm un graf al implicaţiilor. Astfel, nodurile grafului vor fi variabilele <tex> A </tex>, <tex> B </tex> <tex> ... </tex> şi negaţiile lor <tex> \sim A </tex>, <tex> \sim B </tex> <tex> ... </tex> iar muchiile acestui graf vor fi implicaţiile echivalente cu propoziţiile din expresie. Deci, dacă expresia are $M$ propoziţii, graful va avea $2M$ muchii. Acestea fiind zise, expresiei <tex> (\sim A \vee \sim B) \wedge (B \vee \sim C) \wedge (B \vee C) \wedge (\sim B \vee \sim D) \wedge (C \vee D) </tex> îi corespunde graful:
p=. !2-sat?Graf.png!
Dacă avem <tex> A \longrightarrow B </tex> o muchie în graful nostru şi literalul <tex> A </tex> este adevărat, atunci şi literalul <tex> B </tex> trebuie să fie adevărat pentru ca propoziţia reprezentată de muchie să fie satisfăcută. Putem demonstra prin inducţie că dacă există un drum în graf de la literalul <tex> A </tex> la literalul <tex> B </tex>, atunci dacă <tex> A </tex> este adevărat şi <tex> B </tex> trebuie să fie adevărat. Dacă există un drum de la un literal <tex> X </tex> la <tex> \sim X </tex>, precum şi un drum invers, atunci nu va exista soluţie pentru că nu putem seta în acelaşi timp o variabilă şi valoarea ei negată la valoarea adevărat. De aici rezultă că dacă în graful asociat expresiei există o variabilă <tex> X </tex> în aceeaşi componentă tare conexă cu <tex> \sim X </tex> atunci instanţa problemei satisfiabilităţii nu poate fi satisfăcută. Dacă nu există o asemenea variabilă, vom vedea în continuare cum putem rezolva problema. întâi, facem observaţia că dacă în graf există muchia <tex> A \longrightarrow B </tex> atunci există şi muchia <tex> \sim B \longrightarrow \sim A </tex>. Astfel, dacă există un drum de la <tex> A </tex> la <tex> B </tex> în graf, aplicând proprietatea menţionată pentru fiecare muchie a drumului, vom găsi un drum de la <tex> \sim B </tex> la <tex> \sim A </tex>. Evident, afirmaţia este valabilă şi reciproc: dacă există drum de la <tex> B </tex> la <tex> A </tex> atunci vom avea un drum de la nodul <tex> \sim A </tex> la <tex> \sim B </tex>. Astfel, dacă avem că <tex> A </tex> şi <tex> B </tex> sunt în aceeaşi componentă tare conexă atunci şi nodurile <tex> \sim A </tex> şi <tex> \sim B </tex> sunt în aceeaşi componentă tare conexă. Deci, dacă nu există doi literali <tex> X </tex> şi <tex> \sim X </tex> în aceeaşi componentă tare conexă, putem să împărţim graful în componente tare conexe şi să împerechem componentele câte două astfel ca în fiecare pereche să apară o componentă <tex> U </tex> cu nişte literali şi altă componentă <tex> \sim U </tex> cu aceiaşi literali negaţi. Pentru a găsi o soluţie vom determina mai întâi componentele tare conexe ale grafului. Apoi putem contracta fiecare componentă într-un nod. Graful obţinut va fi aciclic. Alegem un nod <tex> u </tex> în care nu intră nicio muchie (un asemenea nod trebuie să existe pentru a nu exista cicluri). Din considerente de simetrie, din nodul lui pereche <tex> \sim u </tex> nu va ieşi nicio muchie. Literalilor componentei <tex> U </tex> putem să le dăm valoarea de adevăr <tex> 0 </tex>, iar literalilor din componenta pereche <tex> \sim U </tex> putem să le dăm valoarea de adevăr <tex> 1 </tex>. Această alegere nu impune restricţii asupra celorlalţi literali şi elimină câteva variabile din problemă. Repetarea recursivă a acestui pas pe graful rămas va duce la rezolvarea problemei. Determinarea componentelor tare conexe se poate face în complexitatea $O(N + M)$. Pentru a vedea acest algoritm puteţi consulta 'secţiunea $23.5$':http://zhuzeyuan.hp.infoseek.co.jp/ita/chap23.htm din {'[1]':2-sat#bibliografie}. Iar eliminarea nodurilor de care vorbeam mai sus se poate face în $O(N + M)$ folosind o sortare topologică.
Dacă avem <tex> A \longrightarrow B </tex> o muchie în graful nostru şi literalul <tex> A </tex> este adevărat, atunci şi literalul <tex> B </tex> trebuie să fie adevărat pentru ca propoziţia reprezentată de muchie să fie satisfăcută. Putem demonstra prin inducţie că dacă există un drum în graf de la literalul <tex> A </tex> la literalul <tex> B </tex>, atunci dacă <tex> A </tex> este adevărat şi <tex> B </tex> trebuie să fie adevărat. Dacă există un drum de la un literal <tex> X </tex> la <tex> \sim X </tex>, precum şi un drum invers, atunci nu va exista soluţie pentru că nu putem seta în acelaşi timp o variabilă şi valoarea ei negată la valoarea adevărat. De aici rezultă că dacă în graful asociat expresiei există o variabilă <tex> X </tex> în aceeaşi componentă tare conexă cu <tex> \sim X </tex> atunci instanţa problemei satisfiabilităţii nu poate fi satisfăcută. Dacă nu există o asemenea variabilă, vom vedea în continuare cum putem rezolva problema. Întâi, facem observaţia că dacă în graf există muchia <tex> A \longrightarrow B </tex> atunci există şi muchia <tex> \sim B \longrightarrow \sim A </tex>. Astfel, dacă există un drum de la <tex> A </tex> la <tex> B </tex> în graf, aplicând proprietatea menţionată pentru fiecare muchie a drumului, vom găsi un drum de la <tex> \sim B </tex> la <tex> \sim A </tex>. Evident, afirmaţia este valabilă şi reciproc: dacă există drum de la <tex> B </tex> la <tex> A </tex> atunci vom avea un drum de la nodul <tex> \sim A </tex> la <tex> \sim B </tex>. Astfel, dacă avem că <tex> A </tex> şi <tex> B </tex> sunt în aceeaşi componentă tare conexă atunci şi nodurile <tex> \sim A </tex> şi <tex> \sim B </tex> sunt în aceeaşi componentă tare conexă. Deci, dacă nu există doi literali <tex> X </tex> şi <tex> \sim X </tex> în aceeaşi componentă tare conexă, putem să împărţim graful în componente tare conexe şi să împerechem componentele câte două astfel ca în fiecare pereche să apară o componentă <tex> U </tex> cu nişte literali şi altă componentă <tex> \sim U </tex> cu aceiaşi literali negaţi. Pentru a găsi o soluţie vom determina mai întâi componentele tare conexe ale grafului. Apoi putem contracta fiecare componentă într-un nod. Graful obţinut va fi aciclic. Alegem un nod <tex> u </tex> în care nu intră nicio muchie (un asemenea nod trebuie să existe pentru a nu exista cicluri). Din considerente de simetrie, din nodul lui pereche <tex> \sim u </tex> nu va ieşi nicio muchie. Literalilor componentei <tex> U </tex> putem să le dăm valoarea de adevăr <tex> 0 </tex>, iar literalilor din componenta pereche <tex> \sim U </tex> putem să le dăm valoarea de adevăr <tex> 1 </tex>. Această alegere nu impune restricţii asupra celorlalţi literali şi elimină câteva variabile din problemă. Repetarea recursivă a acestui pas pe graful rămas va duce la rezolvarea problemei. Determinarea 'componentelor tare conexe':problema/ctc se poate face în complexitatea $O(N + M)$. Pentru a vedea acest algoritm puteţi consulta 'secţiunea $23.5$':http://zhuzeyuan.hp.infoseek.co.jp/ita/chap23.htm din {'[1]':2-sat#bibliografie}. Iar eliminarea nodurilor de care vorbeam mai sus se poate face în $O(N + M)$ folosind o 'sortare topologică':problema/sortaret.
Să urmărim cum merge algoritmul nostru pe exemplul de mai sus. Componentele tare conexe sunt următoarele: <tex> \{A\} </tex>, <tex> \{\sim A\} </tex>, <tex> \{B, C, \sim D\} </tex>, <tex> \{\sim B, \sim C, D\} </tex>. în nodul asociat componentei <tex> \{A\} </tex> nu intră nici o muchie. Astfel, putem să îi atribuim lui <tex> A </tex> valoarea <tex> 0 </tex>, iar după eliminarea lui <tex> \{A\} </tex> şi <tex> \{\sim A\} </tex>în nodul asociat componentei <tex> \{\sim B, \sim C, D\} </tex> nu intră nicio muchie, deci putem să îi atribuim lui <tex> B </tex> valoarea <tex> 1 </tex>, lui <tex> C </tex> valoarea <tex> 1 </tex> şi lui <tex> D </tex> valoarea <tex> 0 </tex>. Această atribuire este satisfiabilă după cum vedem în continuare:
Să urmărim cum merge algoritmul nostru pe exemplul de mai sus. Componentele tare conexe sunt următoarele: <tex> \{A\} </tex>, <tex> \{\sim A\} </tex>, <tex> \{B, C, \sim D\} </tex>, <tex> \{\sim B, \sim C, D\} </tex>. În nodul asociat componentei <tex> \{A\} </tex> nu intră nicio muchie. Astfel, putem să îi atribuim lui <tex> A </tex> valoarea <tex> 0 </tex>, iar după eliminarea lui <tex> \{A\} </tex> şi <tex> \{\sim A\} </tex>în nodul asociat componentei <tex> \{\sim B, \sim C, D\} </tex> nu intră nicio muchie, deci putem să îi atribuim lui <tex> B </tex> valoarea <tex> 1 </tex>, lui <tex> C </tex> valoarea <tex> 1 </tex> şi lui <tex> D </tex> valoarea <tex> 0 </tex>. Această atribuire este satisfiabilă după cum vedem în continuare:
<tex> (\sim A \vee \sim B) \wedge (B \vee \sim C) \wedge (B \vee C) \wedge (\sim B \vee \sim D) \wedge (C \vee D) = </tex> <tex> (\sim 0 \vee \sim 1) \wedge (1 \vee \sim 1) \wedge (1 \vee 1) \wedge (\sim 1 \vee \sim 0) \wedge (1 \vee 0) = </tex> <tex> 1 \wedge 1 \wedge 1 \wedge 1 \wedge 1 = 1 </tex>
h2(#party). 'Party':problema/party (preONI 2003/2004)
bq. George vrea să îşi organizeze majoratul, şi vrea ca petrecerea să fie de neuitat, mâncarea, băutura, locaţia şi sonorizarea sunt deja asigurate, mai rămâne problema chemării prietenilor. El şi cu prietenul lui cel mai bun Lucian au preferinte diferite şi pentru a nu se certa au pus la punct o listă de cerinţe care vor trebui să fie îndeplinite astfel încât cheful să se desfăşoare în cele mai bune condiţii! Pentru uşurinţă, prietenii lui George vor fi indentificaţi prin numere întregi de la $1$ la $N (1 ≤ N ≤ 100)$ şi cerinţele în număr de $M (1 ≤ M ≤ 1.000)$ vor fi de tipurile 0, 1, 2 sau 3. O cerinţă de genul <tex> x \ y </tex> 0 are semnificaţia că <tex> x </tex> sau <tex> y </tex> trebuie să participe la petrecere; <tex> x \ y </tex> 1 are semnificaţia că dacă <tex> x </tex> participă nu există nici o restricţie pentru <tex> y </tex>, dar dacă <tex> x </tex> nu participă atunci nici <tex> y </tex> nu participa; <tex> x \ y </tex> 2 are semnificaţia simetrică cu cerinţa 1; iar cerinţa <tex> x \ y </tex> 3 are semnificaţia că cel puţin unul dintre <tex> x </tex> şi <tex> y </tex> nu participă la petrecere. Scrieţi un program care să-i ajute pe cei doi să determine care persoane vor fi invitate la petrecere. Se garantează că va fi posibilă întotdeauna organizarea unei petreceri!
bq. George vrea să îşi organizeze majoratul şi îşi doreşte ca petrecerea să fie de neuitat. Mâncarea, băutura, locaţia şi sonorizarea sunt deja asigurate, mai rămâne problema chemării prietenilor. El şi cu prietenul lui cel mai bun, Lucian, au preferinţe diferite şi pentru a nu se certa au pus la punct o listă de cerinţe care vor trebui să fie îndeplinite astfel încât cheful să se desfăşoare în cele mai bune condiţii! Pentru uşurinţă, prietenii lui George vor fi identificaţi prin numere întregi de la $1$ la $N$ ({$1 ≤ N ≤ 100$}) şi cerinţele în număr de $M$ ({$1 ≤ M ≤ 1.000$}) vor fi de tipurile 0, 1, 2 sau 3. O cerinţă de genul <tex> x \ y </tex> 0 are semnificaţia că <tex> x </tex> sau <tex> y </tex> trebuie să participe la petrecere; <tex> x \ y </tex> 1 are semnificaţia că dacă <tex> x </tex> participă nu există nicio restricţie pentru <tex> y </tex>, dar dacă <tex> x </tex> nu participă atunci nici <tex> y </tex> nu participa; <tex> x \ y </tex> 2 are semnificaţia simetrică cu cerinţa 1; iar cerinţa <tex> x \ y </tex> 3 are semnificaţia că cel puţin unul dintre <tex> x </tex> şi <tex> y </tex> nu participă la petrecere. Scrieţi un program care să-i ajute pe cei doi să determine care persoane vor fi invitate la petrecere. Se garantează că va fi posibilă întotdeauna organizarea unei petreceri!
h3. Soluţie
Această problemă este inspirită din o problemă de la $CEOI 2002$ şi este evident că ne cere să determinăm o atribuire satisfiabilă pentru o formulă logică formată ca conjuncţie între cerinţele care se transformă astfel:
Această problemă este inspirată dintr-o problemă de la $CEOI 2002$ şi este evident că ne cere să determinăm o atribuire satisfiabilă pentru o formulă logică formată ca conjuncţie între cerinţele care se transformă astfel:
* cerinţa de tip 0 corespunde propoziţiei <tex> x \vee y </tex>;
* cerinţa de tip 1 corespunde propoziţiei <tex> x \vee \sim y </tex>;
* cerinţa de tip 2 corespunde propoziţiei <tex> \sim x \vee y </tex>;
* cerinţa de tip 3 corespunde propoziţiei <tex> \sim x \vee \sim y </tex>.
* _cerinţa de tip 0_ corespunde propoziţiei <tex> x \vee y </tex>;
* _cerinţa de tip 1_ corespunde propoziţiei <tex> x \vee \sim y </tex>;
* _cerinţa de tip 2_ corespunde propoziţiei <tex> \sim x \vee y </tex>;
* _cerinţa de tip 3_ corespunde propoziţiei <tex> \sim x \vee \sim y </tex>.
Una din primele două rezolvări ar fi putut soluţiona această problemă, dar problema de la $CEOI$ avea limite mai mari şi pentru rezolvarea ei ar fi trebuit un algoritm de complexitate $O(N + M)$.
_Autor: Mugurel Ionuţ Andreica_
bq. Se dă un graf neorientat cu $N (1 <= N <= 1000)$ noduri şi $M (0 <= M <= N*(N-1)/2)$ muchii. Se doreşte împărţirea nodurilor acestui graf în $2$ mulţimi, <tex> C </tex> şi <tex> I </tex>, având următoarele proprietăţi: fiecare nod face parte din exact una din cele $2$ mulţimi, există muchie între oricare $2$ noduri din mulţimea <tex> C </tex>, nu există nicio muchie între $2$ noduri din mulţimea <tex> I </tex>. Este posibil ca una dintre cele $2$ mulţimi să fie vidă. Soluţia nu este neaparat unică. Numele celor două mulţimi provin de la $clică$ şi $mulţime independentă$. De exemplu, pentru graful de $6$ noduri ce are muchiile <tex> \{\{1, 4\}, \{4, 6\}, \{6, 1\}, \{2, 4\}, \{2, 6\}, \{3, 4\}, \{1, 3\}\} </tex> o împărţire posibilă ar fi <tex> C = \{1, 4, 6\} </tex>, <tex> I = \{2, 3, 5\} </tex>.
bq. Se dă un graf neorientat cu $N$ ({$1 ≤ N ≤ 1000$}) noduri şi $M$ ({$0 ≤ M ≤ N*(N-1)/2$}) muchii. Se doreşte împărţirea nodurilor acestui graf în $2$ mulţimi, <tex> C </tex> şi <tex> I </tex>, având următoarele proprietăţi: fiecare nod face parte din exact una din cele $2$ mulţimi, există muchie între oricare $2$ noduri din mulţimea <tex> C </tex>, nu există nicio muchie între $2$ noduri din mulţimea <tex> I </tex>. Este posibil ca una dintre cele $2$ mulţimi să fie vidă. Soluţia nu este neapărat unică. Numele celor două mulţimi provin de la $clică$ şi $mulţime independentă$. De exemplu, pentru graful de $6$ noduri ce are muchiile <tex> \{\{1, 4\}, \{4, 6\}, \{6, 1\}, \{2, 4\}, \{2, 6\}, \{3, 4\}, \{1, 3\}\} </tex> o împărţire posibilă ar fi <tex> C = \{1, 4, 6\} </tex>, <tex> I = \{2, 3, 5\} </tex>.
h3. Soluţie
Dacă între două noduri există muchie atunci nu pot fi amândouă în mulţimea <tex> I </tex>, iar dacă între două noduri nu există muchie nu pot fi amândouă în mulţimea <tex> C </tex>.
Transformăm această problemă într-o instanţă de $2-SAT$ astfel: faptul că nodul <tex> x </tex> aparţine mulţimii <tex> C </tex> îl reprezentăm dândui lui <tex> x </tex> valoarea <tex> 1 </tex>, iar apartenenţa mulţimii <tex> I </tex> se codifică prin valoarea <tex> 0 </tex>. Acum existenţa unei muchii <tex> (x, y) </tex> corespunde expresiei <tex> x \vee y </tex>, astfel cel puţin unul din nodurile <tex> x </tex> şi <tex> y </tex> nu va fi în mulţimea <tex> I </tex>. Dacă nu există muchia <tex> (x, y) </tex> putem scrie <tex> \sim x \vee \sim y </tex>, această expresie va fi adevărată dacă cel puţin un nod din cele două nu va fi în mulţimea <tex> C </tex>.
Această soluţie este liniară ca şi complexitate în numărul de elemente citite la intrare.
h2(#peace-commission). Peace Commission (Polish Olympiad in Informatics, 2001)
bq. Comisia Publică a Păcii trebuie să fie compusă în parlamentul Republicii Democrate a ţării Byteland după regulile impuse de Legea Foarte Importantă. Din păcate, unul dintre obstacole este acela că unii deputaţi nu se înţeleg cu ceilalţi. Comisia trebuie realizată astfel ca următoarele condiţii să fie îndeplinite: fiecare partid trebuie să aibă exact un reprezentant în comisie; dacă doi deputaţi nu se înţeleg, ei nu pot fi ambii membrii ai comisiei. Fiecare partid are exact doi deputaţi în parlament. Toţi număraţi de la $1$ până la $2n (1 <= n <= 8000)$. Deputaţii cu numerele $2i-1$ şi $2i$ aparţin celui de al $i$-lea partid. Se vor da $m (0 <= m <= 20 000)$ perechi de deputaţi <tex> (a, b) </tex> care nu se înţeleg. Se cere realizarea unei comisii dacă acest lucru este posibil. Un exemplu ar fi pentru trei partide şi perechile <tex> (1, 3) </tex> şi <tex> (2, 4) </tex> care nu se înţeleg comisia alcătuită din membrii <tex> \{1, 4, 5\} </tex>.
h3. Soluţie
Fiecărui partid îi vom asocia o variabilă; variabila va lua valoarea <tex> 1 </tex> dacă membrul $2i - 1$ al partidului va aparţine comisiei şi valoarea <tex> 0 </tex> dacă membrul $2i$ va aparţine comisiei. Pentru ca din partidul $x$ să existe exact un membru în expresie introducem <tex> A_{x} \wedge \sim A_{x} </tex>.
Putem exprima că doi membrii ai parlamentului $(2i, 2j)$ nu se înţeleg prin expresia logică <tex> \sim A_{i} \vee \sim A_{j} </tex>. Astfel nu pot ambele variabile <tex> A_{i} </tex> şi <tex> A_{j} </tex> să aibă în acelaşi timp valoarea <tex> 1 </tex> adică $2i$ şi $2j$ nu pot face parte în acelaşi timp din comisie. Dacă cei doi membrii sunt $(2i - 1, 2j - 1)$ atunci îi putem codifica prin expresia <tex> A_{i} \vee A_{j} </tex> astfel <tex> A_{i} </tex> şi <tex> A_{j} </tex> nu pot avea în acelaşi timp valoarea <tex> 0 </tex>, iar dacă membrii sunt $(2i , 2j - 1)$ se poate scrie ca <tex> \sim A_{i} \vee A_{j} </tex> astfel <tex> A_{i} </tex> nu poate avea valoarea <tex> 1 </tex> când <tex> A_{j} </tex> are valoarea <tex> 0 </tex>.
Exemplul din problemă poate fi scris ca expresia logică în modul următor: <tex> A_{1} \wedge \sim A_{1} \wedge A_{2} \wedge \sim A_{2} \wedge A_{3} \wedge \sim A_{3} \wedge (A_{1} \vee A_{2}) \wedge (\sim A_{1} \vee \sim A_{2}) </tex>.
Din nou vom putea folosi cel de al {'patrulea algoritm':2-sat#solutie4} explicat pentru a obţine o rezolvare de complexitate $O(N + M)$.
h2(#excursion). Excursion (Baltic Olympiad in Informatics, 2001)
bq. Un grup de turişti are ocazia să viziteze mai multe oraşe. Fiecare turist spune două dorinţe ale sale despre ce oraş ar vrea sau nu ar vrea să viziteze. O dorinţă a turistului va spune despre exact un oraş dacă vrea sau nu vrea să îl viziteze. Este posibil ca ambele dorinţe ale unui turist să exprime acelaşi lucru sau să exprime lucruri opuse (de exemplu „Vreau să vizitez oraşul A!” şi „Nu vreau să vizitez oraşul A!”). Va trebui să determinaţi după citirea cerinţelor celor $n$ turişti despre $m$ oraşe dacă există o mulţime a oraşelor pentru care cel puţin o dorinţă a fiecărui turist este îndeplinită $(1 <= n <= 20 000, 1 <= m <= 8 000)$. De exemplu, să presupunem că avem $3$ turişti, $4$ oraşe şi primul turist are dorinţele de a vizita oraşul întâi şi de a nu vizita oraşul doi, al doilea turist are dorinţele de a vizita oraşul doi şi de a vizita oraşul patru, iar al treilea turist are dorinţele de a vizita oraşul trei şi de a vizita oraşul unu. O soluţie pentru acest exemplu ar fi vizitarea tuturor oraşelor.
h3. Soluţie
Este evident că şi această problemă se poate uşor transforma într-o instanţă de $2-SAT$. Fiecare turist ne dă prin dorinţele sale o expresie literală cu doi literali. Vizitarea sau nevizitarea oraşului de index $i$ va fi reprezentată prin variabila booleană <tex> A_{i} </tex>. Exemplul din problemă poate fi transformat astfel: <tex> (A_{1} \vee \sim A_{2}) \wedge (A_{2} \vee A_{4}) \wedge (A_{3} \vee A_{1}) </tex>.
Dacă între două noduri există muchie atunci nu pot fi amândouă în mulţimea <tex> I </tex>, iar dacă între două noduri nu există muchie nu pot fi amândouă în mulţimea <tex> C </tex>. Transformăm această problemă într-o instanţă de $2-SAT$ astfel: faptul că nodul <tex> x </tex> aparţine mulţimii <tex> C </tex> îl reprezentăm dându-i lui <tex> x </tex> valoarea <tex> 1 </tex>, iar apartenenţa la mulţimea <tex> I </tex> se codifică prin valoarea <tex> 0 </tex>. Acum existenţa unei muchii <tex> (x, y) </tex> corespunde expresiei <tex> x \vee y </tex>, astfel cel puţin unul din nodurile <tex> x </tex> şi <tex> y </tex> nu va fi în mulţimea <tex> I </tex>. Dacă nu există muchia <tex> (x, y) </tex> putem scrie <tex> \sim x \vee \sim y </tex>, această expresie va fi adevărată dacă cel puţin un nod din cele două nu va fi în mulţimea <tex> C </tex>.
h2(#orpath). Orpath (Olimpiadă Rusia)
bq. într-o ţară pacifistă, există $N$ oraşe şi $K$ autobuze $(1 <= N, K <= 100)$. La orele aglomerate ale zilei, nu trebuie să existe două autobuze care merg în acelaşi timp în sensuri opuse. Traseul fiecărui autobuz este un ciclu. Spunem că el merge în sens pozitiv dacă va parcurge oraşele în ordinea $1 2 3 4 1 2 3 4 1 2$ ... sau în sens negativ dacă le parcurge în ordinea $1 4 3 2 1 4 3 2 1 4$ ... Găsiţi o posibilitate de atribuire a sensului fiecărui autobuz astfel ca accidentele de trafic să fie evitate (nu vor exista două autobuze care să se întâlnească şi să aibă sensuri de mers opuse). Pentru fiecare autobuz se vor şti oraşele de pe ruta lui, şi pentru fiecare două oraşe vecine pe rută se va şti timpul necesar autobuzului pentru a ajunge dintr-un oraş în altul. De exemplu, pentru $4$ oraşe unde oricare două sunt la timp de mers egal cu $10$, şi pentru două autobuze cu rutele $1 2 4$ şi $3 4 2$, o soluţie ar fi ca primul autobuz să meargă în sens pozitiv iar celălalt în sens negativ.
bq. Într-o ţară pacifistă, există $N$ oraşe şi $K$ autobuze $(1 ≤ N, K ≤ 100)$. La orele aglomerate ale zilei, nu trebuie să existe două autobuze care merg în acelaşi timp în sensuri opuse. Traseul fiecărui autobuz este un ciclu. Spunem că el merge în sens pozitiv dacă va parcurge oraşele în ordinea $1 2 3 4 1 2 3 4 1 2$ ... sau în sens negativ dacă le parcurge în ordinea $1 4 3 2 1 4 3 2 1 4$ ... Găsiţi o posibilitate de atribuire a sensului fiecărui autobuz astfel ca accidentele de trafic să fie evitate (nu vor exista două autobuze care să se întâlnească şi să aibă sensuri de mers opuse). Pentru fiecare autobuz se vor şti oraşele de pe ruta lui, şi pentru fiecare două oraşe vecine pe rută se va şti timpul necesar autobuzului pentru a ajunge dintr-un oraş în altul. De exemplu, pentru $4$ oraşe unde oricare două sunt la timp de mers egal cu $10$, şi pentru două autobuze cu rutele $1 2 4$ şi $3 4 2$, o soluţie ar fi ca primul autobuz să meargă în sens pozitiv iar celălalt în sens negativ.
h3. Soluţie
Pentru orice două autobuze vom găsi care sunt sensurile de mers pentru ele astfel ca cele două autobuze să nu se întâlnească şi să provoace un accident. Pentru un sens fixat putem afla pentru un autobuz pe ce interval de timp va fi pe o anumită stradă. El va fi în general pe o stradă $(i, j)$ pe un interval de tipul $[t1 + k*T … t2 + k*T]$ unde $t1$ este timpul din prima rută parcursă pentru a ajunge la $i$, $t2$ timpul pentru a ajunge la $j$ iar $T$ este durata totală a unei rute. Acum, pentru a determina dacă două autobuze se vor întâlni pe o rută $(i, j)$ trebuie ca ele să se deplaseze în sensuri opuse pe această rută, iar intervalele lor $[t1 + k*T1 .. t2 + k*T1]$ se intersectează cu intervalele $[tt1 + p*T2 … tt2 + p*T2]$. Este clar acum că putem transforma problema într-o instanţă de $2-SAT$ prin maparea autobuzelor în variabile logice, a sensurilor de mers în valorile $adevărat$ şi $fals$, iar pentru orice pereche de autobuze să fie o propoziţie logică ce ia valoarea $adevărat$ doar dacă sensurile de mers determinate de variabilele logice asociate autobuzelor sunt compatibile. Mai trebuie determinat într-un mod eficient dacă două clase de intervale de timp se intersectează. Aceasta rămâne ca temă cititorului.
Pentru orice două autobuze vom găsi care sunt sensurile de mers pentru ele astfel ca cele două autobuze să nu se întâlnească şi să provoace un accident. Pentru un sens fixat putem afla pentru un autobuz pe ce interval de timp va fi pe o anumită stradă. El va fi în general pe o stradă $(i, j)$ pe un interval de tipul $[t1 + k*T ... t2 + k*T]$ unde $t1$ este timpul din prima rută parcursă pentru a ajunge la $i$, $t2$ timpul pentru a ajunge la $j$, iar $T$ este durata totală a unei rute. Acum, pentru a determina dacă două autobuze se vor întâlni pe o rută $(i, j)$ trebuie ca ele să se deplaseze în sensuri opuse pe această rută, iar intervalele $[t1 + k*T1 ... t2 + k*T1]$ ale primului să se intersecteze cu intervalele $[tt1 + p*T2 ... tt2 + p*T2]$ ale celui de-al doilea. Este clar acum că putem transforma problema într-o instanţă de $2-SAT$ prin maparea autobuzelor în variabile logice, a sensurilor de mers în valorile $adevărat$ şi $fals$, iar pentru orice pereche de autobuze să fie o propoziţie logică ce ia valoarea $adevărat$ doar dacă sensurile de mers determinate de variabilele logice asociate autobuzelor sunt compatibile. Mai trebuie determinat într-un mod eficient dacă două clase de intervale de timp se intersectează. Aceasta rămâne ca temă cititorului.
h2(#aladdin). 'Aladdin':problema/aladdin (Bursele Agora 2005/2006, Runda 1)
bq. Aladdin, aşa cum ştiaţi, este un mare magnat în afacerea de comercializare a covoarelor magice. Acesta doreşte să o cucerească pe prinţesa Iasmina, iar aceasta, pentru a-i testa inteligenţa îl roagă să îi facă un covor dreptunghiular împărţit în pătrăţele, asemănator unei table de şah cu $N$ linii şi $M$ coloane $(1 <= N, M <= 1000)$. Fiecare pătrăţel de pe covor trebuie colorat cu alb sau cu negru. Pentru fiecare pătrat care conţine $4$ pătrăţele Iasmina pune condiţia să aibă un număr fixat de pătrăţele colorate cu negru. Ajutaţi-l pe Aladdin să realizeze un covor care satisface condiţiile impuse de prinţesa Iasmina!
bq. Aladdin, aşa cum ştiaţi, este un mare magnat în afacerea de comercializare a covoarelor magice. Acesta doreşte să o cucerească pe prinţesa Iasmina, iar aceasta, pentru a-i testa inteligenţa îl roagă să îi facă un covor dreptunghiular împărţit în pătrăţele, asemănator unei table de şah cu $N$ linii şi $M$ coloane $(1 ≤ N, M ≤ 1000)$. Fiecare pătrăţel de pe covor trebuie colorat cu alb sau cu negru. Pentru fiecare pătrat care conţine $4$ pătrăţele Iasmina pune condiţia să aibă un număr fixat de pătrăţele colorate cu negru. Ajutaţi-l pe Aladdin să realizeze un covor care satisface condiţiile impuse de prinţesa Iasmina!
h3. Soluţie
întâi, să considerăm un exemplu. Pentru o cerinţă de forma:
Întâi, să considerăm un exemplu. Pentru o cerinţă de forma:
table{width: 90px; text-align: center}.
| <tex> 3 </tex> | <tex> 2 </tex> | <tex> 3 </tex> |
| <tex> 0 </tex> | <tex> 1 </tex> | <tex> 1 </tex> | <tex> 0 </tex> |
| <tex> 0 </tex> | <tex> 0 </tex> | <tex> 0 </tex> | <tex> 0 </tex> |
Fie <tex> A </tex> o matrice soluţie a problemei noastre. Vom numerota rândurile matricii de la $0$ la $N - 1$ şi coloanele de la $0$ la $M - 1$. Matricea de intrare <tex> S </tex> reprezintă de fapt sumele din fiecare pătrat de câte $2 x 2$ elemente. Facem observaţia că dacă ştim într-un pătrat de $2 x 2$ valorile pentru trei dintre celule, atunci valoarea din a patra celulă este unic determinată pentru că ştim suma elementelor din pătrat. Vedem astfel, că dacă ştim valorile elementelor din prima linie a matricii <tex> A </tex> şi din prima coloană, restul valorilor sunt unic determinate.
Pentru a rezolva problema vom presupune <tex> A[0][0] </tex> cunoscut (de fapt, mai întâi vom rezolva problema presupunând că <tex> A[0][0] = 1 </tex>, iar dacă nu obţinem nicio soluţie vom încerca cu <tex> A[0][0] = 0 </tex>). Vom nota celulele <tex> A[0][1] </tex>, <tex> A[0][2]</tex>, … <tex> A[0][M - 1] </tex> cu <tex> x_{1} </tex>, <tex> x_{2} </tex>, … <tex> x_{M-1} </tex> iar celulele <tex> A[1][0] </tex>, <tex> A[2][0] </tex>, … <tex> A[N - 1][0] </tex> cu <tex> y_{1} </tex>, <tex> y_{2} </tex>, … <tex> y_{N-1} </tex>.
Fie <tex> A </tex> o matrice soluţie a problemei noastre. Vom numerota rândurile matricii de la $0$ la $N - 1$ şi coloanele de la $0$ la $M - 1$. Matricea de intrare <tex> S </tex> reprezintă de fapt sumele din fiecare pătrat de câte $2 x 2$ elemente. Facem observaţia că dacă ştim într-un pătrat de $2 x 2$ valorile pentru trei dintre celule, atunci valoarea din a patra celulă este unic determinată pentru că ştim suma elementelor din pătrat. Vedem astfel, că dacă ştim valorile elementelor din prima linie a matricii <tex> A </tex> şi din prima coloană, restul valorilor sunt unic determinate. Pentru a rezolva problema vom presupune <tex> A[0][0] </tex> cunoscut (de fapt, mai întâi vom rezolva problema presupunând că <tex> A[0][0] = 1 </tex>, iar dacă nu obţinem nicio soluţie vom încerca cu <tex> A[0][0] = 0 </tex>). Vom nota celulele <tex> A[0][1] </tex>, <tex> A[0][2]</tex>, <tex>...</tex>, <tex> A[0][M - 1] </tex> cu <tex> x_{1} </tex>, <tex> x_{2} </tex>, <tex>...</tex>, <tex> x_{M-1} </tex>, iar celulele <tex> A[1][0] </tex>, <tex> A[2][0] </tex>, <tex>...</tex>, <tex> A[N - 1][0] </tex> cu <tex> y_{1} </tex>, <tex> y_{2} </tex>, <tex>...</tex>, <tex> y_{N-1} </tex>.
table{width: 90px; text-align: center}.
| <tex> A[0][0] </tex> | <tex> x_{1} </tex> | <tex> x_{2} </tex> | <tex> ... </tex> | <tex> x_{M-1} </tex> |
| ... | ... | ... | ... | ... |
| <tex> y_{N-1} </tex> | <tex> 0 </tex> | <tex> 1 </tex> | ... | <tex> 1 </tex> |
Acum, pentru fiecare celulă putem demonstra prin inducţie că <tex> A[i][j] = (-1)^i x_{j} + (-1)^j y_{i} + b[i][j] </tex>. Unde <tex> b[i][j] </tex> sunt nişte constante ce sunt calculate în funcţie de matricea primită la intrare.
Este uşor de observat că dacă:
<tex> A[i-1][j] = (-1)^{(i-1)} x_{j} + (-1)^j y_{i-1} + b[i-1][j] </tex>,
<tex> A[i-1][j-1] = (-1)^{(i-1)} x_{j-1} + (-1)^{(j-1)} y_{i-1} + b[i-1][j-1] </tex>,
<tex> A[i][j-1] = (-1)^i x_{j-1} + (-1)^{(j-1)} y_{i} + b[i][j-1] </tex>,
Acum, pentru fiecare celulă putem demonstra prin inducţie că <tex> A[i][j] = (-1)^i x_{j} + (-1)^j y_{i} + b[i][j] </tex>. Unde <tex> b[i][j] </tex> sunt nişte constante ce sunt calculate în funcţie de matricea primită la intrare. Este uşor de observat că dacă:
<tex> A[i-1][j] = (-1)^{(i-1)} x_{j} + (-1)^j y_{i-1} + b[i-1][j] </tex>,
<tex> A[i-1][j-1] = (-1)^{(i-1)} x_{j-1} + (-1)^{(j-1)} y_{i-1} + b[i-1][j-1] </tex>,
<tex> A[i][j-1] = (-1)^i x_{j-1} + (-1)^{(j-1)} y_{i} + b[i][j-1] </tex>,
atunci:
<tex> A[i][j] = S[i-1][j-1] - A[i-1][j] - A[i][j-1] - A[i-1][j-1] = </tex>
<tex> = S[i-1][j-1] - ((-1)^{(i-1)} x_{j} + (-1)^j y_{i-1} + b[i-1][j]) - </tex> <tex> ((-1)^{(i-1)} x_{j-1} + (-1)^{(j-1)} y_{i-1} + b[i-1][j-1]) - ((-1)^i x_{j-1} + (-1)^{(j-1)} y_{i-1} + b[i][j-1]) = </tex>
<tex> = (-1)^i x_{j} - (-1)^j y_{i-1} + (-1)^i x_{j-1} + (-1)^j y_{i-1} - </tex> <tex> (-1)^i x_{j-1} + (-1)^j y_{i} + S[i-1][j-1] - b[i-1][j] - b[i][j-1] - b[i-1][j-1] = </tex>
<tex> = (-1)^i x_{j} + (-1)^j y_{i} + b[i][j] </tex>.
<tex> A[i][j] = </tex> <tex> S[i-1][j-1] - </tex> <tex> A[i-1][j] - </tex> <tex> A[i][j-1] - </tex> <tex> A[i-1][j-1] = </tex> <tex> S[i-1][j-1] - </tex> <tex> ((-1)^{(i-1)} x_{j} + </tex> <tex> (-1)^j y_{i-1} + </tex> <tex> b[i-1][j]) - </tex> <tex> ((-1)^{(i-1)} x_{j-1} + </tex> <tex> (-1)^{(j-1)} y_{i-1} + </tex> <tex> b[i-1][j-1]) - </tex> <tex> ((-1)^i x_{j-1} + </tex> <tex> (-1)^{(j-1)} y_{i-1} + </tex> <tex> b[i][j-1]) = </tex> <tex> (-1)^i x_{j} - </tex> <tex> (-1)^j y_{i-1} + </tex> <tex> (-1)^i x_{j-1} + </tex> <tex> (-1)^j y_{i-1} - </tex> <tex> (-1)^i x_{j-1} + </tex> <tex> (-1)^j y_{i} + </tex> <tex> S[i-1][j-1] - </tex> <tex> b[i-1][j] - </tex> <tex> b[i][j-1] - </tex> <tex> b[i-1][j-1] = </tex> <tex> (-1)^i x_{j} + </tex> <tex> (-1)^j y_{i} + </tex> <tex> b[i][j] </tex>.
De aici concluzionăm că <tex> b[i][j] = S[i-1][j-1] - b[i-1][j] - b[i][j-1] - b[i-1][j-1] \ (*)</tex>.
<tex> 0 \le y_{i} \le 1 </tex>
<tex> -b[i][j] \le (-1)^i x_{j} + (-1)^j y_{i} \le 1 - b[i][j] </tex>
Este uşor acum să transformăm acest sistem într-o formulă booleană în {'formă normal conjunctivă':2-sat#forme-normale} în care fiecare expresie are cel mult $2$ literali. Fiecare relaţie o putem înmulţi sau nu cu $-1$ astfel ca părţile constante ale relaţiei să fie pozitive. Observăm că <tex> | b[i][j] | \le 2 </tex>, altfel nu avem soluţie. Dacă <tex> | b[i][j] | = 2 </tex> atunci ambele variabile au valori fixe, iar dacă <tex> | b[i][j] | = 1 </tex> sau <tex> | b[i][j] | = 0 </tex> atunci relaţia o putem scrie ca o disjuncţie logică cu doi literali.
O relaţie precum <tex> 0 \le x + y \le 1 </tex> poate fi tansformată logic în <tex> \sim x \vee \sim y </tex>, astfel <tex> x </tex> şi <tex> y </tex> nu vor fi în acelaşi timp <tex> 1 </tex>, una de genul <tex> 1 \le x + y \le 2 </tex> va fi transformată în <tex> (x \vee y) </tex>, astfel cel puţin <tex> x </tex> sau <tex> y </tex> va fi egal cu <tex> 1 </tex>, alta de tipul <tex> 0 \le x - y \le 1 </tex> poate fi scrisă ca <tex> x \vee \sim y </tex>, una de tipul <tex> 2 \le x + y \le 3 </tex> în <tex> x \wedge y </tex>, iar una de tipul <tex> 0 \le -x -y \le 1 </tex> în <tex> \sim x \wedge \sim y </tex>, una de tipul <tex> 1 \le x - y \le 2 </tex> în <tex> x \wedge \sim y </tex>.
Este uşor acum să transformăm acest sistem într-o formulă booleană în {'formă normal conjunctivă':2-sat#forme-normale} în care fiecare expresie are cel mult $2$ literali. Fiecare relaţie o putem înmulţi sau nu cu $-1$ astfel ca părţile constante ale relaţiei să fie pozitive. Observăm că <tex> -2 \le b[i][j] \le 3 </tex>, altfel nu avem soluţie. Dacă partea constantă minimă într-o relaţie este $2$ atunci ambele variabile au valori fixe, iar dacă este $1$ sau $0$ atunci relaţia o putem scrie ca o disjuncţie logică cu doi literali.
Astfel am redus problema la rezolvarea unei instanţe de $2-SAT$. Avem $N+M-1$ necunoscute şi {$(N-1)$}{$(M-1)$} propoziţii. Folosind a treia metodă de rezolvare vom obţine un algoritm de complexitate $O(N * M)$ care soluţionează problema noastră.
O relaţie precum <tex> 0 \le x + y \le 1 </tex> poate fi tansformată logic în <tex> \sim x \vee \sim y </tex>, astfel <tex> x </tex> şi <tex> y </tex> nu vor fi în acelaşi timp <tex> 1 </tex>, una de genul <tex> 1 \le x + y \le 2 </tex> va fi transformată în <tex> x \vee y </tex>, astfel cel puţin <tex> x </tex> sau <tex> y </tex> va fi egal cu <tex> 1 </tex>, alta de tipul <tex> 0 \le x - y \le 1 </tex> poate fi scrisă ca <tex> x \vee \sim y </tex>, una de tipul <tex> 2 \le x + y \le 3 </tex> în <tex> x \wedge y </tex>, iar una de tipul <tex> 0 \le -x -y \le 1 </tex> în <tex> \sim x \wedge \sim y </tex>, una de tipul <tex> 1 \le x - y \le 2 </tex> în <tex> x \wedge \sim y </tex>. Astfel am redus problema la rezolvarea unei instanţe de $2-SAT$. Avem $N+M-1$ necunoscute şi @(N-1)*(M-1)@ propoziţii. Folosind {'a treia metodă de rezolvare':2-sat#solutie-3} vom obţine un algoritm de complexitate $O((M + N)^2^)$ care soluţionează problema noastră.
Să vedem cum merge acestă rezolvare pe exemplul din problemă:
<tex> 0 \le y_{2} \le 1, 0 \le x_{1} - y_{2} \le 1,-1 \le x_{2} + y_{2} \le 0, 1 \le x_{3} - y_{2} \le 2, </tex>
<tex> 0 \le y_{3} \le 1, -1 \le -x_{1} - y_{3} \le 0, 0 \le -x_{2} + y_{3} \le 1, -1 \le -x_{3} - y_{3} \le 0 </tex>
Transformăm relaţiile astfel ca să nu apară nici o constantă negativă:
Transformăm relaţiile astfel ca să nu apară nicio constantă negativă:
<tex> 0 \le x_{1} \le 1, 0 \le x_{2} \le 1, 0 \le x_{3} \le 1, </tex>
<tex> 0 \le y_{1} \le 1, 1 \le x_{1} + y_{1} \le 2, 0 \le -x_{2} + y_{1} \le 1, 2 \le x_{3} + y_{1} \le 3, </tex>
| <tex> 0 </tex> | <tex> 1 </tex> | <tex> 1 </tex> | <tex> 0 </tex> |
| <tex> 0 </tex> | <tex> 0 </tex> | <tex> 0 </tex> | <tex> 0 </tex> |
h2(#probleme). Probleme propuse
Pentru a vă familiariza cu subiectul prezentat în acest articol, vă propunem să încercaţi să rezolvaţi următoarele probleme:
# 'Excursion':http://www.oi.edu.pl/download/boi-2001.pdf - Baltic Olympiad in Informatics, 2001
# 'Peaceful Commission':http://www.oi.edu.pl/php/show.php?ac=e100000&module=show&file=zadania/oi8/spokojna - Polish Olympiad in Informatics, 2001
h2(#bibliografie). Bibliografie:
* [1] T. H. Cormen, C. E. Leiserson, R. R. Rivest - '_Introducere in Algoritmi_':http://zhuzeyuan.hp.infoseek.co.jp/ita/toc.htm
* [2] '_Satisfiability_':http://en.wikipedia.org/wiki/Satisfiability, Wikipedia
* [3] '_BOI 2001 Competition Material_':http://www.oi.edu.pl/download/boi-2001.pdf
* [4] '_CEOI 2002 Competition Material_':http://ics.upjs.sk/ceoi/Documents.html
# T. H. Cormen, C. E. Leiserson, R. R. Rivest - '_Introducere în Algoritmi_':http://zhuzeyuan.hp.infoseek.co.jp/ita/toc.htm
# '_Satisfiability_':http://en.wikipedia.org/wiki/Satisfiability, Wikipedia
# '_BOI 2001 Competition Material_':http://www.oi.edu.pl/download/boi-2001.pdf
# '_CEOI 2002 Competition Material_':http://ics.upjs.sk/ceoi/Documents.html
Nu exista diferente intre securitate.
Diferente intre topic forum:
