Probleme cu secvente

Probleme cu secvențe

h1. Probleme cu secvenţe

(Categoria _Diverse_, autor _Cosmin Negruşeri_)

== include(page="template/implica-te/scrie-articole" user_id="alecman") ==

(toc){width: 30em}*{text-align:center} *Cuprins*
* 'Introducere ':probleme-cu-secvente#intro
* 'Problema 1 ( _Subsecvenţa de sumă maximă_ ) ':probleme-cu-secvente#prob1
* 'Problema 2 ({_Maximum Sum_}) - 104 acm.uva.es ':probleme-cu-secvente#prob2
* 'Problema 3 ({_Interogare_}) - Bursele Agora 2005/2006 Runda 1 ':probleme-cu-secvente#prob3

(Categoria _Algoritmi şi tehnici de programare_, Autor _Cosmin Negruşeri_)

h2(#intro). Introducere

(toc){width: 27em}*{text-align:center} *Conţinut*
* 'Introducere ':probleme-cu-secvente#introducere
* 'Problema 1: Subsecvenţa de sumă maximă ':probleme-cu-secvente#problema-1
* 'Problema 2: Maximum Sum ':probleme-cu-secvente#problema-2
* 'Problema 3: SequenceQuery ':probleme-cu-secvente#problema-3
* 'Problema 4 ':probleme-cu-secvente#problema-4
* 'Problema 5 ':probleme-cu-secvente#problema-5
* 'Problema 6: Secvenţă ':probleme-cu-secvente#problema-6
* 'Problema 7: Agricultura ':probleme-cu-secvente#problema-7
* 'Problema 8: Secvenţa 2 ':probleme-cu-secvente#problema-8
* 'Problema 9: Sum ':probleme-cu-secvente#problema-9
* 'Problema 10: Secvenţa 3 ':probleme-cu-secvente#problema-10
* 'Problema 11: XorMax ':probleme-cu-secvente#problema-11
* 'Probleme propuse':probleme-cu-secvente#probleme-propuse
* 'Bibliografie':probleme-cu-secvente#bibliografie
 
h2(#introducere). Introducere

Acest articol prezintă o serie de probleme înrudite cu problema subsecvenţei de sumă maximă, însoţite de rezolvări eficiente. Problemele prezentate pot apărea oricând ca subprobleme în concursurile de programare, studierea lor mărind în mod util bagajul de cunoştinţe al unui elev pasionat de algoritmică.

h2(#prob1). Problema 1 ( _Subsecvenţa de sumă maximă_ )

h2(#problema-1). Problema 1: 'Subsecvenţa de sumă maximă':problema/ssm

Se dă un şir de $N$ numere întregi $(a{~1~}, a{~2~}, ..., a{~N~})$. Să se determine o subsecvenţă $(a{~i~}, a{~i+1~}, ..., a{~j~})$ care să aibă suma maximă.

bq. Se dă un şir de $N$ numere întregi $(a{~1~}, a{~2~}, ..., a{~N~})$. Să se determine o subsecvenţă $(a{~i~}, a{~i+1~}, ..., a{~j~})$ care să aibă suma maximă.

h4. Exemplu

h3. Exemplu:

Pentru secvenţa de numere $(-1, 2, 3, -4, -2, 2, 1, -3, -2, -3, -4, 9, -2, 1, 7, 8, -19, -7, 2, 4, 3)$, o subsecvenţă de sumă maximă este $(9, -2, 1, 7, 8)$.

h3. Rezolvare

h3. Rezolvare:

Prima rezolvare care ne vine în minte are complexitatea $O(N^3^)$ şi constă în determinarea sumei fiecărei subsecvenţe posibile şi reţinerea maximului acestor sume. Este evident că anumite sume parţiale sunt calculate de mai multe ori.

Putem reduce complexitatea la $O(N^2^)$ ţinând cont de faptul că suma subsecvenţei $a[i..j]$ este egală cu suma subsecvenţei $a[i..j-1]$, la care se adună $a[j]$. Păstrăm într-un şir $sum[i]$ - suma elementelor din subsecvenţa $a[1..i]$. Pentru a determina suma elementelor din subsecvenţa $a[i..j]$ facem diferenţa $sum[i] - sum[j-1]$.

Putem reduce complexitatea la $O(N^2^)$ ţinând cont de faptul că suma subsecvenţei $a[j..i]$ este egală cu suma subsecvenţei $a[j..i-1]$, la care se adună $a[i]$. Păstrăm într-un şir $sum[i]$ suma elementelor din subsecvenţa $a[1..i]$. Pentru a determina suma elementelor din subsecvenţa $a[j..i]$ facem diferenţa: $sum[i] - sum[j-1]$.

Ideea poate fi rafinată calculând pentru fiecare indice $i$ numărul $best[i]$, reprezentând subsecvenţa de sumă maximă cu capătul drept în $i$. Este uşor de observat că $best[i] = max(sum[i] - sum[j-1])$, unde $j$ ia valori de la $1$ la $i$. Relaţia anterioară se mai poate scrie $best[i] = sum[i] - min(sum[j-1 ])$. Obţinem astfel un algoritm liniar care ne determină subsecvenţa de sumă maximă cerută.

Ideea poate fi rafinată calculând pentru fiecare indice $i$ numărul $best[i]$, reprezentând subsecvenţa de sumă maximă cu capătul drept în $i$. Este uşor de observat că $best[i] = max(sum[i] - sum[j-1])$, unde $j$ ia valori de la $1$ la $i$. Relaţia anterioară se mai poate scrie: $best[i] = sum[i] - min(sum[j-1])$. Obţinem astfel un algoritm liniar care ne determină subsecvenţa de sumă maximă cerută.

== code(cpp) |
sum[0] = 0;

}
==

O altă metodă de calcul poate fi dedusă folosind paradigma _Divide Et Impera_. La fiecare pas împărţim şirul în jumătate şi aflăm subsecvenţele de sumă maximă din cele două jumătăţi. După aceea trebuie să găsim subsecvenţa de sumă maximă ce are un capăt în fiecare din cele două jumătăţi ale sirului. Pentru aceasta alipim sufixul de sumă maximă a primei jumătăţi cu prefixul de sumă maximă a celei de-a doua.

O altă metodă de calcul poate fi dedusă folosind paradigma _Divide et Impera_. La fiecare pas împărţim şirul în jumătate şi aflăm subsecvenţele de sumă maximă din cele două jumătăţi. După aceea trebuie să găsim subsecvenţa de sumă maximă ce are un capăt în fiecare din cele două jumătăţi ale sirului. Pentru aceasta alipim sufixul de sumă maximă a primei jumătăţi cu prefixul de sumă maximă a celei de a doua.

== code(cpp) |
int getMaxSubsequence(int l, int r) {

}
==

O idee bazată pe paradigma programării dinamice ar fi să folosim un şir $best[ i ]$, reprezentând suma maximă a unei subsecvenţe ce se termină în $a[i]$. Problema se rezolvă cu următoarea formulă de recurenţă: $best[i] = max(a[i], best[i-1] + a[i])$. Formula poate fi demonstrată prin inducţie matematică.

O idee bazată pe paradigma programării dinamice ar fi să folosim un şir $best[i]$, reprezentând suma maximă a unei subsecvenţe ce se termină în $a[i]$. Problema se rezolvă cu următoarea formulă de recurenţă: $best[i] = max(a[i], best[i-1] + a[i])$. Formula poate fi demonstrată prin inducţie matematică.

O ultimă idee ar fi să partiţionăm şirul în subsecvenţe încât fiecare să aibă ambele capete cât mai mici posibile şi suma elementelor subsecvenţei să fie negativă. Pentru exemplul dat avem următoarea partiţionare $[-1], [2, 3, -4, -2], [2, 1, -3, -2], [-3], [-4], [9, -2, 1, 7, 8, -19, -7], [2, 4, 3]$. O subsecvenţă de sumă maximă va avea primul capăt la începutul unei astfel de subsecvenţe, acest lucru explicându-se prin faptul că în caz contrar secvenţa poate fi mărită în stânga (orice secvenţă din cele alese pentru partiţionare are toate prefixele de sumă pozitivă, în afară de prefixul ce reprezintă întreaga subsecvenţă). De asemenea, orice subsecvenţă de sumă maximă nu va conţine elemente din altă parte a partiţiei, pentru că dacă subsecvenţa se întinde pe mai multe părţi, atunci putem elimina prefixul subsecvenţei care reprezintă o parte a partiţiei, acea parte având suma negativă.

== code(cpp) |
bestSum = a[1];
for (i = 1; i <= N; ++ i) {
    best[i] = a[i];
    if (best[i] < best[i-1] + a[i])
        best[i] = best[i-1] + a[i];
    if (bestSum < best[i])
        bestSum = best[i];
}
==
 
O ultimă idee, dacă se garantează că există cel puţin un număr pozitiv, ar fi să partiţionăm şirul în subsecvenţe încât fiecare să aibă ambele capete cât mai mici posibile şi suma elementelor subsecvenţei să fie negativă. Pentru exemplul dat avem următoarea partiţionare: $[-1], [2, 3, -4, -2], [2, 1, -3, -2], [-3], [-4], [9, -2, 1, 7, 8, -19, -7], [2, 4, 3]$. O subsecvenţă de sumă maximă va avea primul capăt la începutul unei astfel de subsecvenţe, acest lucru explicându-se prin faptul că în caz contrar secvenţa poate fi mărită în stânga (orice secvenţă din cele alese pentru partiţionare are toate prefixele de sumă pozitivă, în afară de prefixul ce reprezintă întreaga subsecvenţă). De asemenea, orice subsecvenţă de sumă maximă nu va conţine elemente din altă parte a partiţiei, pentru că dacă subsecvenţa se întinde pe mai multe părţi, atunci putem elimina prefixul subsecvenţei care reprezintă o parte a partiţiei, acea parte având suma negativă.

== code(cpp) |

sum = -INFINIT;

sum = 0;

bestSum = -INFINIT;
for (i = 1; i <= N; i++) {
    sum += a[i];

    if (sum < 0) {

    if (sum < 0)

        sum = 0;

        continue;
    } else
    if (sum >= bestSum) bestSum = sum;

    else if (sum > bestSum)
        bestSum = sum;

}
==

h2(#prob2). Problema 2 ({_Maximum Sum_}) - 104 acm.uva.es

h2(#problema-2). Problema 2: 'Maximum Sum':http://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&category=3&page=show_problem&problem=44 (UVa)

Se da o matrice de dimensiuni $NxN$ cu elemente intregi. Se cere determinarea unei submatrici a carei elemente au suma maxima.

bq. Se dă o matrice de dimensiuni $N x N$ cu elemente întregi. Se cere determinarea unei submatrici a cărei elemente au suma maximă.

h4. Exemplu

h3. Exemplu:

Pentru matricea<tex>\[ \left( \begin{array}{cccc}0 & -2 & -7 & 0 \\9 & 2 & -6 & 2 \\-4 & 1 & -4 & 1 \\-1 & 8 & 0 & -2 \end{array} \right)\]</tex>submatricea de sumă maximă este următoarea:<tex>\[ \left( \begin{array}{cc}9 & 2 \\-4 & 1 \\-1 & 8 \end{array} \right)\]</tex>

h3. Rezolvare

h3. Rezolvare:
 
Putem folosi trucul construirii sumelor parţiale din rezolvarea anterioară, pentru cazul $2D$. Păstrăm în $sum[i][j]$ suma tuturor elementelor $a[i{~1~}][j{~1~}]$ cu proprietatea că $1 ≤ i{~1~} ≤ i$, şi $1 ≤ j{~1~} ≤ j$. Putem calcula sumele prin metoda programării dinamice în complexitate $O(N^2^)$ folosind formula: $sum[i][j] = a[i][j] + sum[i][j-1] + sum[i-1][j] - sum[i-1][j-1]$. Acum, pentru a calcula suma elementelor din matricea cu colţurile $(i{~1~}, j{~1~})$ şi $(i{~2~}, j{~2~})$, unde $i{~1~} ≤ i{~2~}$ şi $j{~1~} ≤ j{~2~}$, este suficient să facem calculul $sum[i{~2~}][j{~2~}] - sum[i{~1~}-1][j{~2~}] - sum[i{~2~}][j{~1~}-1] + sum[i{~1~}-1][j{~1~}-1]$. Astfel putem evalua suma din fiecare submatrice în timp constant, deci rezolvarea are ordinul de complexitate $O(N^4^)$.
 
O altă idee ar fi ca pentru fiecare pereche $(i{~1~}, i{~2~})$ fixată să determinăm perechea optimă $(j{~1~}, j{~2~})$. Dacă avem liniile $i{~1~}$ şi $i{~2~}$ fixate atunci problema se transformă din una bidimensională în una unidimensională. Astfel pentru fiecare coloană $j$ vom considera $b[j]$ ca sumă a elementelor $a[i][j]$ cu proprietatea că $i{~1~} ≤ i ≤ i{~2~}$. În exemplul nostru, dacă $i{~1~} = 2$ şi $i{~2~} = 3$, atunci avem: $b{~1~} = 9 + (-4)$, $b{~2~} = 2 + 1$, $b{~3~} = (-6) + (-4)$ şi $b{~4~} = 2 + 1$. Pentru a rezolva problema unidimensională folosim unul din algoritmii liniari prezentaţi mai sus, astfel obţinându-se un algoritm de complexitate totală $O(N^3^)$. Acest truc de a fixa două linii pentru a transforma problema în una unidimensională este util în multe probleme pe matrice sau cu puncte în plan.
 
Cel mai bun algoritm cunoscut pentru această problemă are complexitatea <tex>O(N^{3}\sqrt{\frac{\log \log N}{\log N}})</tex> şi este mai mult un algoritm teoretic decât unul practic, uşor implementabil. Pentru detalii puteti consulta lucrarea [3].
 
h2(#problema-3). Problema 3: 'SequenceQuery':problema/sequencequery (Bursele Agora 2006)
 
bq. Se consideră un şir $A = (a{~1~}, a{~2~}, ..., a{~N~})$, format din numere întregi $(-100.000 &le; a{~i~} &le; 100.000)$, şi $M$ perechi de numere $(x, y)$ $(1 &le; N, M &le; 100.000)$. Pentru fiecare pereche ordonată de indici $(x, y)$ trebuie determinată subsecvenţa de sumă maximă a subşirului $a{~x~}, a{~x+1~}, ..., a{~y~}$. Subsecvenţele alese trebuie să conţină cel puţin un element.
 
h3. Exemplu:
 
Pentru şirul $(-1, 2, 3, -2, 4, -3, 8, -3)$ şi intervalele $[1, 5]$, $[4, 8]$ si $[6, 6]$ avem soluţiile:
 
* $7$ pentru subsecvenţa $(-1, *2*, *3*, *-2*, *4*)$;
 
* $9$ pentru subsecvenţa $(-2, *4*, *-3*, *8*, -3)$;
 
* $-3$ pentru subsecvenţa $({*-3*})$.
 
h3. Rezolvare:
 
Putem obţine un algoritm de complexitate $O(M * N)$ folosind algoritmii liniari din prima problemă, dar să vedem cum putem reduce complexitatea folosind alte abordări. Mai întâi calculăm şirul $sum[]$ al sumelor parţiale, după care împărţim şirul în $K$ subsecvenţe de lungimi egale $[N / K]$, şi păstrăm următoarele informaţii pentru fiecare din ele:
 
* $max[i]$ - cea mai mare valoare $sum[j]$, unde: $N / K * (i - 1) < j &le; N / K * i$;
 
* $min[i]$ - cel mai mic $sum[j - 1]$, unde: $N / K * (i - 1) < j &le; N / K * i$;
 
* $best[i]$ - valoarea subsecventei de suma maxima a secventei curente.
 
Acum, pentru a afla subsecvenţa de sumă maximă a subsecvenţei $a[x..y]$ studiem cele două cazuri posibile:
 
# Dacă elementele de indice $x$ şi $y$ aparţin aceleiaşi subsecvenţe, atunci putem găsi ceea ce căutăm folosind algoritmul liniar direct pe şirul $a[x..y]$. Complexitate: $O(N / K)$.
 
# Dacă nu sunt în aceeaşi secvenţă, atunci vom împărţi şirul $a[x..y]$ în:
 
* un prefix de subsecvenţă din cele ce aparţin partiţionării,
 
* un sufix de subsecvenţă,

Putem folosi trucul construirii sumelor partiale prezentat in rezolvarea anterioara, pentru cazul *2D*. Pastram in $sum[i][j]$ suma tuturor elementelor $a[i{~1~}][j{~1~}]$ cu proprietatea ca $1 <= i{~1~} <= i$, si $1 <= j{~1~} <= j$. Putem calcula sumele prin metoda programarii dinamice (complexitate $O(N^2^)$) folosind formula $sum[i][j] = a[i][j] + sum[i][j-1] + sum[i-1][j] - sum[i-1][j-1]$. Acum pentru a calcula suma elementelor din matricea cu colturile $(i{~1~}, j{~1~}), (i{~2~}, j{~2~})$, unde $i{~1~} <= i{~2~} si j{~1~} <= j{~2~}$ este suficient sa facem calculul $sum[i{~2~}][j{~2~}] - sum[i{~1~}-1][j{~2~}] - sum[i{~2~}][j{~1~}-1] + sum[i{~1~}-1][j{~1~}-1]$. Astfel putem evalua suma din fiecare submatrice in timp constant, deci rezolvarea are ordinul de complexitate $O(N^4^)$.
O alta idee ar fi ca pentru fiecare pereche $(i{~1~}, i{~2~})$ fixate sa determinam perechea optima $(j{~1~}, j{~2~})$. Daca avem liniile $i{~1~}$ si $i{~2~}$ fixate atunci problema se transforma din una bidimensionala in una unidimensionala. Astfel pentru fiecare coloana $j$ vom considera $b[j]$ ca suma a elementelor $a[i][j]$ cu proprietatea ca $i{~1~} <= i <= i{~2~}$. In exemplul nostru daca $i{~1~} = 2$ si $i{~2~} = 3$, atunci avem $b{~1~} = 9 + (-4)$, $b{~2~} = 2 + 1$, $b{~3~} = (-6) + (-4)$ si $b{~4~} = 2 + 1$. Pentru a rezolva problema unidimensionala folosim unul din algoritmii liniari prezentati mai sus, astfel obtinandu-se un algoritm de complexitate totala $O(N^3^)$. Acest truc de a fixa doua linii pentru a transforma problema in una unidimensionala este util in multe probleme pe matrice sau cu puncte in plan.
Cel mai bun algoritm cunoscut pentru aceasta problema are complexitatea <tex>O(N^{3((\log \log N)/\log N)^{1/2}})</tex> si este mai mult un algoritm teoretic decat unul practic, usor implementabil.

* zero sau mai multe subsecvenţe complete ce aparţin partiţionării,

h2(#prob3). Problema 3 ({_Interogare_}) - Bursele Agora 2005/2006 Runda 1

după care rezolvăm problema pentru sufix şi prefix prin metoda liniară în $O(N / K)$, şi determinăm în $O(1)$ pentru fiecare bucată în care este spart şirul $a[x..y]$ subsecvenţa ei de sumă maximă.

Se considera un sir $A = (a{~1~}, a{~2~}, ..., a{~N~}) (-100.000 <= a{~i~} <= 100.000)$, format din $N$ numere intregi, precum si $M$ perechi de numere $(x, y) (1 <= N, M <= 100.000)$. Pentru fiecare pereche de indici $(x, y) (1 <= x <= y <= N)$ trebuie determinata subsecventa de suma maxima a subsirului $a{~x~}, a{~x+1~}, ..., a{~y~}$ , subsecventele alese trebuie ss contins cel putin un element.

Mai rămâne să găsim subsecvenţa de sumă maximă cu capătul în bucăţi diferite. Pentru două bucăţi fixate $i < j$, subsecvenţa de sumă maximă ce are câte un capăt în fiecare bucată are valoarea: $max[j] - min[i]$. Determinarea subsecvenţei de sumă maximă cu capetele în bucăţi diferite devine astfel de complexitate $O(K)$. Deci, pentru a rezolva o întrebare trebuie să facem $O(N / K + K)$ calcule. Pentru a reduce complexitatea problemei considerăm pe $K = sqrt(N)$. Complexitatea totală a acestei soluţii este $O(N + M * sqrt(N))$.

h4. Exemplu

Să vedem ce se întâmplă pe exemplu:

Pentru sirul $(-1, 2, 3, -2, 4, -3, 8, -3, 1)$ si intervalele $[1, 5]$, $[4, 8]$ si $[6, 6]$ avem solutiile $7, 9, -3$, date de numerele ingrosate $([-1, *2*, *3*, *-2*, *4*], -3, 8, -3, 1, -1, 2, 3, [-2, *4*, *-3*, *8*, -3], 1, -1, 2, 3, -2, 4, [*-3*], 8, -3, 1)$.

table{width:300px; text-align:right;}.
|_. $a$ | - | $-1$ | $2$ | $3$ | $-2$ | $4$ | $-3$ | $8$ | $-3$ | $1$ |
|_. $sum$ | $0$ | $-1$ | $1$ | $4$ | $2$ | $6$ | $3$ | $11$ | $8$ | $9$ |

h3. Rezolvare

şirul e împărţit în trei subsecvenţe $[-1, 2, 3], [-2, 4, -3], [8, -3, 1]$:

Folosind algoritmii liniari din prima problema obtinem un algoritm de complexitate $O(MN)$. Sa vedem cum putem reduce complexitatea folosind alte abordari. Mai intai calculam sirul $sum$ al sumelor partiale. Apoi impartim sirul in $k$ subsecvente de lungimi egale $[n/k]$, pentru fiecare secventa pastrand urmatoarele informatii:
 * $max[i]$ - cea mai mare valoare $sum[j]$, unde $n/k * (i-1) < j <= n/k * i$;
 * $min[i]$ - cel mai mic $sum[j-1]$, unde $n/k * (i-1) < j <= n/k * i$;
 * $best[i]$ - valoarea subsecventei de suma maxima a secventei curente.
Acum, daca vrem sa aflam subsecventa de suma maxima a subsecventei $a[x..y]$, avem doua cazuri posibile:
 1. Daca elementele de indice $x$ si $y$ apartin aceleiasi subsecvente din partitie, atunci putem gasi subsecventa de suma maxima folosind algoritmul liniar direct pe sirul $a[x..y]$ (complexitate $O(n/k)$).
 2. Daca ele nu sunt in aceeasi secventa atunci vom imparti sirul $a[x..y]$ in un prefix de subsecventa din cele ce apartin partitionarii, in un sufix de subsecventa si in zero sau mai multe subsecvente complete ce apartin partitionarii. Acum vom rezolva problema pentru sufix si prefix metoda liniara ( {$O(n/k)$} ), iar apoi in $O(1)$ vom determina pentru fiecare bucata în care este spart sirul $a[x..y]$, subsecventa ei de suma maxima.
Mai ramane sa gasim subsecventa de suma maxima cu capatul in bucati diferite. Pentru doua bucati fixate $i <= j$, subsecventa de suma maxima ce are un capat apartinand primei bucati si $j$ apartinand celei de a doua bucati, subsecventa de suma maxima are valoarea $max[j] – min[i]$. Determinarea subsecventei de suma maxima cu capetele in bucati diferite devine astfel de complexitate $O(k)$. Deci pentru a rezolva o intrebare trebuie sa facem $O(n/k + k)$ calcule. Pentru a reduce complexitatea problemei obtinem pe $k = sqrt(n)$. Complexitatea totala a acestei solutii este $O(N + M sqrt(N))$.

table{width:100px; text-align:right;}.
|_. $max$ | $4$ | $6$ | $11$ |
|_. $min$ | $-1$ | $2$ | $8$ |
|_. $best$ | $5$ | $4$ | $8$ |

Sa vedem ce se intampla pe exemplu:
 a:     $-1 2 3 -2 4 -3  8  -3 1$
 sum: $0 -1 1 4  2 6  3  11  8 9$

Pentru a răspunde la întrebarea $[1, 5]$ trebuie să răspundem la cele două subsecvenţe componente $[1..3]$ şi $[4..5]$. Soluţia optimă pentru $[1..3]$ este $best[1] = 5$. Soluţia optimă pentru $[4..5]$ o determinăm folosind algoritmul liniar, ea fiind $4$. Acum, pentru a determina subsecvenţa de sumă maximă cu câte un capăt în fiecare interval folosim formula: $max(sum[i]) - min(sum[j - 1])$, unde $4 ≤ i ≤ 5$ şi $1 ≤ j ≤ 3$. Valoarea $max(sum[i])$ o găsim parcurgând intervalul $[4, 5]$ ca fiind $6$, iar valoarea $min(sum[j - 1])$ o avem deja calculată în $min[1]$. De aici obţinem rezultatul $7$.

Sirul e impartit in trei subsecvente $[-1, 2, 3], [-2, 4, -3], [8, -3, 1]$.
 max:  $ 4 6 11$
 min:  $-1 2 8$
 best: $ 5 4 8$
Pentru a raspunde la intrebarea $[1, 5]$ vedem ca acest interval e inpartit in $[1..3]$ si $[4..5]$. Solutia optima pentru $[1..3]$ o avem deja in $best[1] = 5$. Solutia optima pentru $[4..5]$ o determinam folosind algoritmul liniar, ea fiind 4. Acum pentru a determina subsecventa de suma maxima cu un capat in intervalul $[1, 3]$ si celalalt in intervalul $[4, 5]$ folosim $max(sum[i]) - min(sum[j-1])$, unde $4 <= i <= 5$ si $1 <= j <= 3$. Valoarea $max(sum[i])$ o gasim ca fiind $6$ parcurgand intervalul $[4, 5]$, iar valoarea $min(sum[j-1])$ o avem deja calculata in $min[1]$. De aici obtinem rezultatul $7$.

O soluţie similară poate fi obţinută cu ajutorul arborilor de intervale. Mai întâi creăm arborele de intervale. Pentru fiecare interval aflăm elementele $min$, $max$ şi $best$ astfel:

O solutie similara poate fi realizata cu ajutorul arborilor de intervale. Mai intai cream arborele de intervale. Pentru fiecare interval aflam elementele $min$, $max$ si $best$ astfel $min[x..y] = minim(min[x..(x+y)/2], min[(x+y)/2 + 1 .. y])$, $max[x..y] = maxim(max[x..(x+y)/2], max[(x+y)/2 + 1 .. y])$, $best[x..y] = maxim(best[x..(x+y)/2], maxim(best[(x+y)/2 + 1 .. y], max[(x+y)/2 + 1 .. y] - min[x..(x+y)/2]))$. Acum pentru a raspunde la intrebarile din problema fiecare interval va fi impartit in $O(log N)$ subintervale canonice care apar in arborele de intervale. Apoi printr-o parcurgere asemanatoare celei din rezolvarea anterioara se poate obtine rezultatul pentru fiecare intrebare in $O(log N)$. Solutia va avea complexitatea $O(N + M log N)$.
In urmatorul desen observam structura unui arbore de intervale pentru un sir cu $16$ elemente. Daca se pune intrebarea $[2, 11]$ acest interval va fi spart in intervalele $[2, 2], [3, 4], [5, 8], [9, 10], [11, 11]$.

* $min[x..y] = minim(min[x..(x+y)/2], min[(x+y)/2 + 1 .. y])$;

Prezentam procedura de construire a arborelui, implementata in _java_:

* $max[x..y] = maxim(max[x..(x+y)/2], max[(x+y)/2 + 1 .. y])$;
 
* $best[x..y] = maxim(best[x..(x+y)/2], maxim(best[(x+y)/2 + 1 .. y], max[(x+y)/2 + 1 .. y] - min[x..(x+y)/2]))$.
 
Acum pentru a răspunde la întrebările din problemă fiecare interval va fi împărţit în $O(log N)$ subintervale canonice care apar în arborele de intervale. Apoi printr-o parcurgere asemănătoare celei din rezolvarea anterioară se poate obţine rezultatul pentru fiecare întrebare în $O(log N)$. Soluţia va avea complexitatea $O(N + M * log N)$.
 
În următorul desen observăm structura unui arbore de intervale pentru un şir cu $16$ elemente. Daca se pune întrebarea $[2, 11]$ acest interval va fi spart în intervalele $[2, 2], [3, 4], [5, 8], [9, 10], [11, 11]$.
 
p=. !probleme-cu-secvente?numere2.png!
 
Prezentăm procedura de construire a arborelui, implementată în _java_:

== code(java) |
public void build_tree(int index, int low, int high) {

        else aint[index] = new Node(low, high, 0, 0, 0);
    }
    else {

        aint[index] = new Node(low, high, -infinity, -infinity, infinity);

        aint[index] = new Node(low, high, -INFINIT, -INFINIT, INFINIT);

        int mid = (low + high) / 2;
        build_tree(2 * index, low, mid);
        build_tree(2 * index + 1, mid + 1, high);

        aint[index].maxS = Math.max(aint[2 * index].maxS,Math.max(aint[2 * index + 1].maxS,aint[2 * index + 1].max - aint[2 * index].min));
        aint[index].max = Math.max(aint[2 * index].max,aint[2 * index + 1].max);
        aint[index].min = Math.min(aint[2 * index].min,aint[2 * index + 1].min);

        aint[index].maxS = Math.max(aint[2 * index].maxS,
                Math.max(aint[2 * index + 1].maxS, aint[2 * index + 1].max - aint[2 * index].min));
        aint[index].max = Math.max(aint[2 * index].max, aint[2 * index + 1].max);
        aint[index].min = Math.min(aint[2 * index].min, aint[2 * index + 1].min);

    }
}
==

Si procedura care raspunde la intrebari tot in _java_:

şi procedura care răspunde la întrebări tot în _java_:

== code(java) |

long minPrefix;

long minPrefix;

int x, y;
public long queryTree(int index, int low, int high) {
    if (x <= low && high <= y) {
        long maxRet = aint[index].maxS;

        if (minPrefix != infinity) {

        if (minPrefix != INFINIT) {

            maxRet = Math.max(maxRet, aint[index].max - minPrefix);
        }
        minPrefix = Math.min(minPrefix, aint[index].min);

    }
    else {
        int mid = (low + high) / 2;

        if (x <= mid && mid < y) return  Math.max(queryTree(2 * index, low, mid), queryTree(2 * index + 1, mid + 1, high));
        else if (x > mid) return queryTree(2 * index + 1, mid + 1, high);
            else return queryTree(2 * index, low, mid);

        if (x <= mid && mid < y)
            return Math.max(queryTree(2 * index, low, mid), queryTree(2 * index + 1, mid + 1, high));
        else if (x > mid)
            return queryTree(2 * index + 1, mid + 1, high);
        else
            return queryTree(2 * index, low, mid);

    }
}
==

h2(#prob4). Problema 4 - ACM ICPC NWERC 97, olimpiada online 2000, campion 2001

Autorul vă recomandă articolele [1] şi [2] pentru o înţelegere mai profundă a structurii de date numită arbori de intervale. Problema poate fi soluţionată şi în $O(N + M)$, dar algoritmul este mult prea complicat pentru un concurs de programare; cei interesaţi pot să îl găsească în [4].
 
h2(#problema-4). Problema 4 (ACM ICPC NWERC 97, olimpiada online 2000, .campion 2001)
 
bq. Se dă un şir $(a{~1~}, a{~2~}, ..., a{~N~})$ format din numere întregi. Se cere să se determine subsecvenţa $a[i..j]$ care are modulul sumei elementelor minim.
 
h3. Exemplu:
 
Pentru şirul $(2, 8, -6, -6, 9, 4, -3)$, subsecvenţa este $(4, -3)$, având suma în modul $1 = |4 - 3|$.
 
h3. Rezolvare:
 
Construim întâi şirul sumelor parţiale. Pentru oricare două elemente $sum[i]$ şi $sum[j]$ cu $(i != j)$ modulul sumei unei subsecvenţe din şir va fi $|sum[i] - sum[j]|$. Dacă $i < j$, atunci secvenţa va fi $a[i+1..j]$, iar dacă $j < i$, atunci secvenţa va fi $a[j+1 .. i]$.
 
Astfel, pentru a găsi subsecvenţa de modul minim trebuie, de fapt, să găsim perechea de indici $i$ şi $j$ astfel ca $|sum[i] - sum[j]|$ să fie minim. Sortând şirul sumelor parţiale şi luând o pereche de indici $i < j$, atunci $sum[i] < sum[j]$, iar $|sum[j] - sum[i]| = sum[j] - sum[i]$. Pentru a găsi perechea $(i, j)$ pentru care $i < j$ şi $sum[j] - sum[i]$ este minim, trebuie ca $i$ să fie egal cu $j + 1$. Astfel obţinem un algoritm de complexitate $O(N * log N)$.
 
Să vedem cum merge pe exemplul prezentat:
 
table{width:300px; text-align:right;}.
|_. $a$ | - | $2$ | $8$ | $-6$ | $-6$ | $9$ | $4$ | $-3$ |
|_. $sum$ | $0$ | $2$ | $10$ | $4$ | $-2$ | $7$ | $11$ | $8$ |
|_. $ind$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ |
 
În şirul $ind$ vom păstra indicii reali ai sumelor parţiale. După sortare avem:
 
table{width:300px; text-align:right;}.
|_. $sum$ | $-2$ | $0$ | $2$ | $4$ | $7$ | $8$ | $10$ | $11$ |
|_. $ind$ | $4$ | $0$ | $1$ | $4$ | $5$ | $7$ | $2$ | $6$ |
 
O secvenţă de modul $2$ ar fi cea reprezentată de sumele $8$ şi $10$, cu indicii $7$ şi $2$. Această secvenţă este $(-6, -6, 9, 4, -3)$. Observăm ca cea mai mică diferenţă între termeni consecutivi e cea dintre $8$ şi $7$, care au indicii $7$ şi $5$, de unde obţinem că subsecvenţa de modul minim este $(4, -3)$.
 
h2(#problema-5). Problema 5 (USACO)
 
bq. Se dă un şir $(a{~1~}, a{~2~}, ..., a{~N~})$ format din $N (1 &le; N &le; 100 000)$ numere întregi $(1 &le; a{~i~} &le; 2 000)$ si un numar natural $F$. Se cere să se determine subsecvenţa $a[i..i + K - 1]$ cu media aritmetică a elementelor maximă, unde $K$ are proprietatea $K &ge; F$.
 
h3. Exemplu:
 
Pentru şirul $(6, 4, 2, 10, 3, 8, 5, 9, 4, 1)$ şi $F = 6$ soluţia optimă este $(10, 3, 8, 5, 9, 4)$, cu media $6.5$.
 
h3. Rezolvare:
 
Fie $X$ un număr real. Considerând şirul $b$, obţinut prin transformarea $b{~i~} = a{~i~} - X$, atunci toate subsecvenţele şirului $b$ vor avea valoarea mediei elementelor lor cu $X$ mai mică decât valoarea subsecvenţelor corespunzătoare din şirul $a$. Observăm apariţia a trei cazuri:
 
* Dacă subsecvenţa de sumă maximă din $b$ are valoarea mai mare ca $0$, atunci şi media ei va fi mai mare ca $0$. Rezultă astfel că şi media subsecvenţei corespunzătoare din şirul $a$ va fi mai mare decât $X$, deci media maximă a unei subsecvenţe din $a$ va fi mai mare ca $X$.
 
* Cand subsecvenţa de sumă maximă din şirul $b$ are media mai mică decât $0$, atunci orice subsecvenţă din şirul $a$ va avea media mai mică decât $X$.
 
* În cazul în care subsecvenţa de sumă maximă a şirului $b$ are valoarea egală cu zero, atunci subsecvenţa de medie maximă a şirului $a$ are media $X$.
 
Astfel putem face o căutare binară pentru a determina valoarea $X$ a mediei maxime. Ne mai rămâne să determinăm un algoritm eficient pentru găsirea subsecvenţei de sumă maximă de lungime cel puţin $F$. O asemenea soluţie urmăreşte una din ideile din prima problemă: fie $best[i]$ subsecvenţa de sumă maximă ce se termină în $a[i]$. Evident $best[i] = max(a[i], best[i - 1] + a[i])$. Acum secvenţa de sumă maximă ce se termină în $a[i]$, de lungime cel puţin $F$ se găseşte ca $a[i] + a[i - 1] + .. + a[i - F + 2] + best[i - F + 1]$. Această relaţie poate fi calculată în $O(1)$ dacă ne folosim de trucul sumelor parţiale. Complexitatea finală este $O(N * log C)$, unde $C$ e valoarea maximă a lui $a{~i~}$.
 
h2(#problema-6). Problema 6: 'Secvenţă':problema/secventa
 
bq. Se da un şir de $N$ numere întregi. O secvenţă este un subşir de numere care apar pe poziţii consecutive în şirul iniţial. Definim baza unei secvenţe ca fiind minimul valorilor elementelor din secvenţa respectivă. Fiind dat un număr natural $K$, determinaţi o secvenţă de lungime cel puţin $K$, cu baza maximă. Restrictii: $1 &le; K &le; N &le; 500 000$.
 
h3. Exemplu:
 
Pentru $K = 3$ şi şirul $(-1, 2, 3, 1, 0, 4, 8, 6)$, secvenţa de bază maximă este $(4, 8, 6)$.
 
h3. Rezolvare:
 
Presupunem că orice secvenţă optimă ar avea lungimea mai mare decât $K$. Atunci putem obţine o secvenţă mai mică, cu aceeaşi bază eliminând unul din capetele unei secvenţe optime. Deci este de ajuns să cautăm secvenţele optime de lungime exact $K$.
 
Acum putem face o parcurgere a şirului pentru a rezolva problema. Mai întâi punem într-un $min-heap$ $K$ elemente, verificăm vârful heapului şi obţinem astfel minimul secvenţei $a[1..K]$. Apoi eliminăm elementul $a[&#49;]$ din heap şi inserăm elementul $a[K + 1]$. Prin verificarea vârfului heapului obţinem minimul secvenţei $a[2..K + 1]$. Continuăm procedeul până aflăm elementul minim pentru fiecare subsecvenţă de lungime $K$ a şirului $a$ (complexitate $O(N * log K)$). Există şi alte soluţii pentru găsirea elementului minim al unei subsecvenţe, precum folosirea unui arbore de intervale sau folosirea tehnicii $O(N * log N) / O(1)$ pentru problema _RMQ_.
 
O observaţie importantă este aceea că dacă vrem să vedem minimul secvenţei ce se termină în $i$ şi avem $j{~1~} < j{~2~} &le; i$ şi $a[j{~1~}] &ge; a[j{~2~}]$, atunci evident $a[j{~1~}]$ nu va fi minimul secvenţei ce se termină în $i$. Folosim o structură de date ca la soluţia cu heapuri, care adaugă elemente noi şi şterge elemente vechi, dar pe lângă elementele ce au fost inserate acum $K$ paşi şi trebuie şterse, mai ştergem şi elementele mai noi care nu ne vor mai fi utile, după cum este $a[j{~2~}]$ mai sus. Ca structură de date folosim o listă în care putem insera şi şterge de la ambele capete, un _deque_. Fiecare element inserat în deque va fi o pereche de valori, valoarea din şir şi indexul din şir $(a[i], i)$. Când o valoare este inserată în şir, ea este pusă la capătul din dreapta al şirului, dar înainte de inserare cât timp elementul din capătul şirului are valoarea mai mare decât $a[i]$ el este eliminat. La fiecare pas după o inserţie se verifică dacă elementul din capătul din stânga este mai „bătrân” de $K$ iteraţii.
 
Din cauza modului în care se fac inserţiile şi ştergerile, şirul va fi sortat totdeauna crescător după indecşi şi crescător după valori. Tot timpul ultimul element din stivă va conţine valoarea bazei. Acest algoritm are complexitatea $O(N)$ pentru că fiecare element este inserat şi şters din deque cel mult o dată.
 
Să vedem cum funcţionează rezolvarea pe un exemplu : $a = (-1, 2, 3, 1, 0, 4, 8, 6)$
 
* inserăm $(-1, 1)$
lista devine: $(-1, 1)$
 
 
* inserăm $(2, 2)$
lista devine: $(-1, 1) (2, 2)$
 
 
* inserăm $(3, 3)$
lista devine: $(-1, 1) (2, 2) (3, 3)$
elementul minim al secvenţei $a[1..3]$ este $-1$
 
 
* inserăm $(1, 4)$
ştergem $(3, 3)$ şi $(2, 2)$
ştergem $(-1, 1)$ ( inserat acum $4$ paşi )
lista de vine: $(1, 4)$
elementul minim al secvenţei $a[2..4]$ este $1$
 
 
* inserăm $(0, 5)$
ştergem $(1, 4)$
lista devine: $(0, 5)$
elementul minim al secvenţei $a[3..5]$ este $0$.
 
 
* inserăm $(4, 6)$
lista devine: $(0, 5) (4, 6)$
elementul minim al secvenţei $a[4..6]$ este $0$
 
 
* inserăm $(8, 7)$
lista devine: $(0, 5) (4, 6) (8, 7)$
elementul minim al secvenţei $a[5..7]$ este $0$
 
 
* inserăm $(6, 8)$
ştergem $(8, 7)$
ştergem $(0, 5)$ ( inserat acum $4$ paşi )
lista devine: $(4, 6) (6, 8)$
elementul minim al secvenţei $a[6..8]$ este $4$
 
h2(#problema-7). Problema 7: Agricultura (Algoritmus)
 
bq. Se dă o matrice de dimensiuni $N x M$ de numere naturale. Se cere determinarea unei submatrici cu număr maxim de celule în care diferenţa între valoarea maximă şi valoarea minimă este mai mică decât o valoare dată $K$. Restrictii: $2 &le; N, M &le; 150$, $1 &le; K &le; 1 000$.
 
h3. Exemplu:
 
De exemplu pentru $K = 3$ şi matricea <tex>\[ \left( \begin{array}{cccccc}1 & 1 & 3 & 1 & 2 & 7 \\9 & 2 & 3 & 2 & 3 & 2 \\7 & 8 & 2 & 3 & 1 & 5 \\4 & 5 & 6 & 0 & 1 & 4 \end{array} \right)\]</tex>, soluţia optimă va avea $9$ celule.
 
h3. Rezolvare:
 
Problema constă în determinarea submatricei cu număr maxim de celule în care diferenţa între valoarea maximă şi valoarea minimă este mai mică decât $K$. Vom folosi ideea de la problema cu subsecvenţa de sumă maximă pe matrice, adică vom fixa două linii $i{~1~}$ şi $i{~2~}$. Acum pentru fiecare coloană $j$ păstrăm în $m[j]$ elementul minim şi în $M[j]$ elementul maxim $a[i][j]$ cu $i{~1~} &le; i &le; i{~2~}$. Astfel la fiecare pas trebuie acum să rezolvăm problema determinării unei subsecvenţe de lungime maximă pentru care diferenţa între elementul maxim şi minim este mai mică decât $K$. Folosind un _max-heap_ şi un _min-heap_ putem parcurge elementele şirurilor $M$ şi $m$ în ordine inserând la fiecare pas elemente în heap şi determinând cea mai lungă secvenţă ce se termină în $i$ cu proprietatea dată. Vom ţine un al $2$-lea indice $j$, iniţial $0$, care atâta timp cât diferenţa între elementul maxim din max-heap cu elementul minim din min-heap este mai mare sau egală cu $K$, vom scoate din heapuri elementele $M[j]$, respectiv $m[j]$ şi îl vom incrementa pe $j$. Complexitate: $O(N^3^ log N)$. Dacă în loc de heapuri folosim deque-uri, atunci acest algoritm va avea complexitatea $O(N^3^)$.
 
h2(#problema-8). Problema 8: 'Secvenţa 2':problema/secv2
 
bq. Se da un şir de $N$ numere întregi şi un număr natural $K$. O secvenţă este un subşir de numere care apar pe poziţii consecutive în şirul iniţial. Se cere să se găsească secvenţa de sumă maximă de lungime cel puţin $K$. Restrictii: $1 &le; K &le; N &le; 50 000$.
 
h3. Exemplu:
 
De exemplu pentru şirul $(0, -6, 2, 1, 4, -1,  3, -5)$ şi $K = 3$, soluţia optimă este $(2, 1, 4, -1, 3)$.
 
h3. Rezolvare:
 
Putem folosi rezolvarea liniară bazată pe programare dinamică prezentată ca subalgoritm în soluţia 'problemei $5$':probleme-cu-secvente#problema-5, dar putem simplifica logica din acea rezolvare. Vom folosi şirul sumelor parţiale $sum[]$, iar pentru a determina subsecvenţa de sumă maximă ce se termină în $i$ şi are lungimea cel puţin $K$ trebuie să găsim $sum[j]$ minim astfel ca $j < i - K$. Parcurgem lista, şi la pasul $i$ determinăm $best[i] = sum[i] - min(sum[j])$, $j < i - K$. Comparăm minimul curent cu $sum[i - K]$ şi trecem la pasul următor. Complexitate: $O(N)$.
 
h2(#problema-9). Problema 9: 'Sum':problema/sum2 (Stelele Informaticii 2003)
 
bq. Se dă un şir de $N$ numere întregi. Se caută un subşir cu lungimea cuprinsă între $L$ şi $U$, format din elemente consecutive ale şirului iniţial, cu suma elementelor maximă. Restrictii: $1 &le; L &le; U &le; N &le; 100 000$.
 
h3. Rezolvare:
 
Pentru fiecare $i$ este de ajuns să aflăm valoarea expresiei $sum[i] - sum[j]$, unde $i - L > j &ge; i - U$. Pentru a determina valoarea optimă pentru $sum[j]$ putem folosi un heap de dimensiune $U - L$, sau putem folosi tehnici de determinare a valorii minime într-un interval dat. Complexitate: $O(N * log(U - L))$.
 
Altă abordare de aflare a minimelor unor secvenţe de lungime dată (în cazul acesta lungimea este $U - L$ ) a fost prezentată în rezolvarea 'problemei $6$':probleme-cu-secvente#problema-6. Folosind acea tehnică obţinem o rezolvare de complexitate liniară.
 
O altă rezolvare frumoasă prezentată în [4] este următoarea: spunem că o secvenţă este negativă spre stânga dacă suma oricărui prefix ( în afară de secvenţa în sine ) al secvenţei este negativ sau zero. O partiţie a secvenţei $A = (A{~1~}, A{~2~}, ..., A{~k~})$ este minimală negativă spre stânga dacă fiecare $A{~i~}$ este negativă spre stânga, iar suma elementelor lui $A{~i~}$ este strict pozitivă dacă $i != k$. De exemplu secvenţa $(-4, 1, -2, 3)$ este negativă la stânga, pe când secvenţa $(5, -3, 4, -1, 2, -6)$ nu este. Partiţia $(5) (-3, 4) (-1, 2) (-6)$ este minimală negativă la stânga.
 
Pentru fiecare element din partiţie ţinem minte un pointer $p[i]$ spre ultimul element din subsecvenţa din care face parte. Fiecare interval $[i, p[i]]$ va corespunde celei mai scurte subsecvenţe care începe în $i$ şi are suma pozitivă. Pentru a determina o soluţie a problemei pentru fiecare $i$ din care poate începe o subsecvenţă de sumă maximă, ne vom plimba cu un pointer $j$ astfel ca $j$ să fie cât mai depărtat de $i$ şi $j - i + 1 &le; U$. Obţinem astfel de fiecare dată o subsecvenţă de sumă maximă ce începe în $i$, cu lungimea mai mică sau egală cu $U$. Indicele $j$ va fi întotdeauna un capăt de secvenţă negativă la stânga şi la fiecare mărire a lui $i$ verificăm dacă lui $j$ îi putem atribui valoarea $p[j + 1]$ ( adică dacă $p[j + 1] - i + 1 &le; U$ ). Dacă secvenţa de sumă maximă de lungime cel mult $U$ ce începe în $i$ are lungimea mai mică decât $L$, atunci secvenţa de sumă maximă cu lungimea cuprinsă între $L$ şi $U$ are lungimea exact $L$. Complexitate: $O(N)$.
 
h2(#problema-10). Problema 10: 'Secvenţa 3':problema/secv3
 
bq. Se dă un şir de $N$ elemente pentru care se cunosc două informaţii: costul şi timpul. O secvenţă este un subşir de numere care apar pe poziţii consecutive în şirul iniţial. Se caută o secvenţă din cele $N$ elemente care să fie de lungime minim $L$ şi maxim $U$, iar suma costurilor elementelor secvenţei împărţiţă la suma timpurilor elementelor secvenţei să fie maximă. Restrictii: $1 &le; L &le; U &le; N &le; 30 000$.
 
h3. Exemplu:
 
Pentru $L = 1, R = 2$ şi şirurile $c = ( 1, 1, 3, 2, 5 )$ şi $t = ( 4, 2, 5, 3, 6 )$, subsecvenţa cea mai eficientă are costul $0.83$.

Se da un sir $(a{~1~}, a{~2~}, ..., a{~N~})$ format din $N$ numere intregi. Se cere sa se determine subsecventa $a[i..j]$ care are modulul sumei elementelor minim.

h3. Rezolvare:

h4. Exemplu

Procedăm ca la 'problema $5$':probleme-cu-secvente#problema-5 şi căutăm binar valoarea optimă. şirul va fi transformat în: $b[i] = c[i] - t[i] * X$, $i = 1..N$. Acum trebuie să mai rezolvăm subproblema care cere să determinăm o subsecvenţă de sumă maximă pentru care lungimea se află între $L$ şi $U$. Această subproblemă a fost soluţionată în 'problema anterioară':probleme-cu-secvente#problema-9, unde s-a găsit un algoritm liniar. Astfel soluţia acestei probleme are complexitatea $O(N * log C)$.

Pentru sirul $(2, 8, -6, -6, 9, 4, -3)$, subsecventa este $(4, -3)$, avand suma in modul $1 = |4 - 3|$.

h2(#problema-11). Problema 11: 'XorMax':problema/xormax

h3. Rezolvare

bq. Se dă un şir de $N$ numere întregi nenegative. Să se aleagă o secvenţă a şirului, $(a{~i~}, a{~i+1~}, ..., a{~j~})$, astfel încât $a{~i~} xor a{~i+1~} xor ... xor a{~j~}$ să fie maxim. Restrictii: $1 &le; N &le; 100 000$ si $a{~i~} < 221$ cu $i = 1..N$.

Facem mai intai sirul sumelor partiale. Pentru oricare doua elemente $sum[i]$ si $sum[j]$ ($i != j$) modulul sumei unei subsecvente din sir va fi $|sum[i] - sum[j]|$. Daca $i < j$ atunci secventa va fi $a[i+1..j]$, iar daca $j < i$ atunci secventa va fi $a[j+1 .. i]$. Astfel, pentru a gasi subsecventa de modul minim trebuie de fapt sa gasim perechea de indici $i$ si $j$ astfel ca $|sum[i] - sum[j]|$ sa fie minim. Sortand sirul sumelor partiale si luand o pereche de indici $i < j$, atunci $sum[i] < sum[j]$, iar $|sum[j] - sum[i]| = sum[j] - sum[i]$. Pentru a gasi perechea $(i, j)$ pentru care $i < j$ si $sum[j] - sum[i]$ este minim, trebuie ca $i$ sa fie egal cu $j + 1$. Astfel obtinem un algoritm de complexitate $O(N log N)$.

h3. Exemplu:

Sa vedem cum merge pe exemplul prezentat:
 a:     $2  8 -6 -6 9  4 -3$
 sum: $0 2 10  4 -2 7 11  8$
 ind: $0 1  2  3  4 5  6  7$
In sirul $ind$ vom pastra indicii reali ai sumelor parţiale.

Pentru şirul $(1, 0, 5, 4, 2)$, secvenţa cu valoarea sumei _xor_ maximă este $(4, 2)$, cu suma $6$.

Dupa sortare avem:
 sum:  $ -2  0 2 4 7 8 10 11$
 ind:   $ 4  0 1 4 5 7  2  6$
O secventa de modul $2$ ar fi cea reprezentata de sumele $8$ si $10$ cu indicii $7$ si $2$. Aceasta secventa este $(-6, -6, 9, 4, -3)$.
Observam ca cea mai mica diferenta intre termeni consecutivi e cea dintre $8$ si $7$ care au indicii $7$ si $5$, de unde obtinem ca subsecventa de modul minim este $(4, -3)$.

h3. Rezolvare:

h2(#prob5). Problema 5 - USACO

Suma _xor_ a două numere este de fapt adunare binară fără transport, fapt care o face similară operaţiei _modulo_. Problema e asemănătoare cu cea a subsecvenţei de modul minim. Vom obţine toate sumele _xor_ parţiale şi pentru a vedea pentru $sum[i]$ perechea optimă cu care crează o sumă cât mai mare trebuie să găsim acea sumă $sum[j]$ astfel că fiecare bit al lui $sum[i]$ să fie diferit de fiecare bit al lui $sum[j]$, dacă acest lucru este posibil. Pentru a face această căutare cât mai eficientă, putem menţine sumele $sum[i]$ ca şiruri de caractere $0$ sau $1$ într-un _trie_ [5]. Structura de trie pentru cazul când alfabetul are dimensiunea $2$ este identică cu cea de heap. Această soluţie are complexitatea $O(N * log C)$.

Se da un sir $(a{~1~}, a{~2~}, ..., a{~N~})$ format din $N (1 <= N <= 100 000)$ numere intregi ($1 <= a{~i~} <= 2 000$). Se cere sa se determine subsecventa $a[i..i + K - 1]$ cu media aritmetica a elementelor maxima ( $K >= F, 1 <= F <= N$).

h2(#probleme-propuse). Probleme propuse

h4. Exemplu

Pentru a vă însuşi mai bine tehnicile învăţate în acest articol, puteţi rezolva următoarele probleme:

Pentru sirul $(6, 4, 2, 10, 3, 8, 5, 9, 4, 1)$ si $F = 6$ soluţia optima este $(10, 3, 8, 5, 9, 4)$, cu media $6.5$.

* 'Balans':problema/balans
* 'Struţi':problema/struti
* 'Deque':problema/deque
* 'Trie':problema/trie
* 'Maxq':problema/maxq

h3. Rezolvare

h2(#bibliografie). Bibliografie

Fie $X$ un numar real. Daca obtinem sirul $b$ prin transformarea $b{~i~} = a{~i~} - X$, atunci toate subsecventele sirului $b$ vor avea valoarea mediei elementelor lor cu X mai mica decat valoarea subsecventelor corespunzatoare din sirul $a$. Daca subsecventa de suma maxima din $b$ are valoarea mai mare ca $0$, atunci si media ei va fi mai mare ca $0$. Rezulta astfel ca si media subsecventei corespunzatoare din sirul $a$ va fi mai mare decat $X$, deci media maxima a unei subsecvente din $a$ va fi mai mare ca $X$. Cand subsecventa de suma maxima din sirul $b$ are media mai mica decat zero, atunci orice subsecventa din sirul $a$ va avea media mai mica decat $X$. Iar in cazul in care subsecventa de suma maxima a sirului $b$ are valoarea egala cu zero, atunci subsecventa de medie maxima a sirului $a$ are media $X$. Astfel putem face o cautare binara pentru a determina valoarea $X$ a mediei maxime. Ne mai ramane sa determinam un algoritm eficient pentru gasirea subsecventei de suma maxima de lungime cel putin $F$.
O asemenea solutie este usor de facut urmarind una din ideile din prima problema: fie $best[i]$ subsecventa de suma maxima care se termina in $a[i]$. Evident $best[i] = max(a[i], best[i - 1] + a[i])$. Acum secventa de suma maxima ce se termina in $a[i]$ de lungime cel putin $F$ se gaseste ca $a[i] + a[i - 1] + .. + a[i - F + 2] + best[i - F + 1]$. Aceasta relatie poate fi calculata in $O(1)$ daca ne folosim de trucul sumelor partiale.
Astfel obtinem o solutie de complexitate $O(N log C)$, unde $C$ e valoarea maxima a lui $a{~i~}.
 

# Dana Lica - '_Arbori de intervale şi aplicaţii în geometria computaţională_':arbori-de-intervale
# Cosmin Negruşeri - '_Căutări Ortogonale: Structuri de date şi aplicaţii_':cautari-ortogonale
# Takaoka T. - '_Efficient Algorithms for the Maximum Subarray Problem by Distance Matrix Multiplication_':http://www.cosc.canterbury.ac.nz/tad.takaoka/cats02.pdf
# Kuan Yu Chen, Kun Mao Chao - '_On the Range Maximum-Sum Segment Query_':http://www.csie.ntu.edu.tw/~kmchao/papers/2007_DAM_RMSQ.pdf
# Yaw Ling Liu, Tao Jiang, Kun Mao Chao - '_Efficient Algorithms for Locating the Length-Constrained Heaviest Segments, with Applications to Biomolecolar Sequence Analysis_':http://www.csie.ntu.edu.tw/~kmchao/seq2003/mslc.pdf
# T. H. Cormen, C. E. Leiserson, R. R. Rivest - '_Introducere in Algoritmi_':http://zhuzeyuan.hp.infoseek.co.jp/ita/toc.htm

3553