infoarena

Comentarii la postul http://infoarena.ro/blog/alta-problema-misto

Personal nu stiu cum arata un triedru drept  :oops:

Un link la o poza pe net cu astfel de figura ar fi utila.

Silviu

Am pus un link in post. Un triedru este intersectia a trei plan in acelasi punct, sau trei semidrepte ce pornesc din acelasi punct in spatiu. La un triedru drept cele trei semidrepte sunt perpendiculare doua cate doua. Si o poza avem aici:

(http://mathworld.wolfram.com/images/eps-gif/TrihedralAngle_1000.gif)

Sper ca e mai clar acum.

[Aici a fost o posibila demonstratie. Va aparea in curand pe blog. :)]

Frumos. Ar merge ca un post pe blog :). Poti sa o stergi ca sa se mai gandeasca si altii la solutie, si sa o pui inapoi dupa ce public al doilea articol despre ea? Mersi.

Buna ideea :thumbup:

Stefane, pune te rog inapoi solutia pe forum.

Voi folosi in demonstratie cateva definitii (nu extrem de riguroase), precum si propozitii ajutatoare, pe care, bineinteles, le voi demonstra.

Definitii: Fiind dat un plan, un cadran cuprins intre 2 semidrepte de origine comuna reprezinta multimea de puncte a planului aflata intre acele semidrepte, sau chiar pe ele. Pentru 2 cadrane ce au o semidreapta comuna, pot considera un punct de pe aceasta ca fiind in oricare dintre cele 2 cadrane.
Deasemenea, voi folosi termenul de unghi obtuz pentru a desemna prin extensie un unghi cu masura cuprinsa in intervalul [90, 180].

Propozitie: Fiind date 4 puncte in plan (punctele se pot si suprapune), exista 2 drepte perpendiculare continute in acel plan astfel incat fiecare din puncte sa se gaseasca in cate unul din cadranele determinate de cele 2 drepte.

Demonstratie:
Pentru cazul in care unul sau mai multe puncte se suprapun, se poate observa destul de usor existenta unor astfel de drepte. Voi demonstra si pentru 4 puncte distincte, gasind mai intai un unghi obtuz format de 3 din cele 4 puncte. Avem 2 cazuri:
I) infasuratoarea convexa a celor 4 puncte e un triunghi.
II) infasuratoarea convexa a celor 4 puncte e un patrulater convex

I) E clar ca unul din puncte se afla pe una din laturile triunghiului (caz in care exista un unghi obtuz: cel de 180 de grade) sau strict in interior. Daca este in interior, exista cel putin un unghi obtuz dintre cele din jurul acestui punct. (In caz contrar, am avea 3 unghiuri ascutite care, insumate, nu vor atinge valoarea de 360 de grade, adica masura unghiului in jurul unui punct)
II) Cel putin unul din unghiurile patrulaterului convex este obtuz (vezi definirea unghiului obtuz). In caz contrar, insumand 4 unghiuri ascutite nu atingem valoarea de 360, adica suma masurilor unghiului unui patrulater.

In acest moment am gasit un unghi obtuz format de 3 din cele 4 puncte. Notam aceste puncte P1, P2, P3, unghiul obtuz fiind in P2. Acest lucru ne garanteaza ca perpendiculara din P2 pe [P1,P3] nu pica in afara segmentului. Avem constructia urmatoare:
(http://i48.photobucket.com/albums/f210/stef2n/lant1.jpg)
Oriunde am pune al 4-lea punct, este demonstrata propozitia. Daca punem P4 in C1, consideram P1 in C2, P2 in C3, P3 in C4. Daca punem P4 in C2, consideram P1 in C3, P2 in C4, P3 in C1. Daca punem P4 in C3, consideram P1 in C2, P2 in C4, P3 in C1. Daca punem P4 in C4, consideram P1 in C2, P2 in C3, P3 in C1. Deci in oricare din cazuri, exista 2 drepte astfel incat in fiecare cadran se gaseste un punct.
Asadar, putem scrie planul ca fiind o reuniune de cadrane generate de cele 4 puncte, dupa cum se vede si mai jos. C1, C2, C3, C4 sunt cadranele initiale, iar P1, P2, P3, P4 punctele. Fiecare punct determina o regiune de plan care include cadranul opus celui in care se afla punctul.

(http://i48.photobucket.com/albums/f210/stef2n/lant2.jpg)

Desigur, exista cazuri degenerate in care unul din puncte este in origine, sau toate sunt pe cele 2 drepte, dar acestea nu influenteaza in vreun fel demonstratia.

Sa revenim la problema initiala. Luam cele 8 lanterne si le ordonam crescator in functie de coordonata z. Ducem un plan paralel cu (xOy) printre cea de-a 4-a si cea de-a 5-a. Practic, pe la jumatate. Obtinem 2 semispatii pe care vom rationa similar.
Pentru un semispatiu, luam cele 4 puncte si le proiectam pe planul baza. Conform propozitiei enuntate la inceput si a constructiei din desenul 2, cele 4 proiectii genereaza pe plan 4 cadrane a caror reuniune e chiar planul baza. Ducand pentru fiecare punct o perpendiculara pe planul baza indreptata catre celalalt semispatiu, obtinem 4 triedre a caror reuniune e chiar semispatiul. Practic, punctele dintr-un semispatiu (cele 4) vor folosi la gasirea unei reuniuni de triedre care include celalalt semispatiu. Procedand analog si pentru celalalt semispatiu, se arata ca exista 8 triedre cu colturile in punctele date astfel incat tot spatiul poate fi luminat.
q.e.d.

Personal, mi-au placut foarte mult problemele puse pe blog. Cel putin asta m-a provocat sa caut solutie. Bravo, Cosmin! :weightlift:

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1902

O problema draguta ce are legatura cu asta.

Am zis de problema si altele similare in postul cu solutia ...