Paduri de multimi disjuncte

Păduri de mulțimi disjuncte

Problema se poate rezolva reprezentand multimile ca liste inlatuite. Cand va trebui sa verificam daca $2$ elemente se afla in aceeasi multime luam fiecare element si parcurgem lista lui pana ajungem la sfarsit. Daca pentru ambele noduri am ajuns la acelasi element atunci ele se afla in aceeasi multime, altfel nu. Cand vrem sa unim $2$ multimi alegem elementul de sfarsit al primei multimi si il conectam la inceputul celeilalte liste. Aceasta abordare are complexitatea $O(N)$ pe operatie si se dovedeste ineficienta.

Abordarea optima este aceea de a reprezenta fiecare multime ca pe un arbore cu radacina. Astfel pentru fiecare operatie de tip $2$ parcurgem arborele in sus din ambele elemente si daca la sfarsit ajungem in aceeasi radacina atunci elementele noastre se afla in aceeasi multime. Atunci cand vrem sa unim $2$ multimi determinam radacinile celor $2$ arbori si le conectam printr-o muchie.

O abordare eficienta este aceea de a reprezenta fiecare multime ca pe un arbore cu radacina. Astfel pentru fiecare operatie de tip $2$ parcurgem arborele in sus din ambele elemente si daca la sfarsit ajungem in aceeasi radacina atunci elementele noastre se afla in aceeasi multime. Atunci cand vrem sa unim $2$ multimi determinam radacinile celor $2$ arbori si le conectam printr-o muchie.

Asupra acestei abordari putem aplica insa $2$ euristici care scad foarte mult timpul de executie:
* _Reuniunea dupa rang_: Pentru fiecare multime tinem minte inaltimea arborelui care reprezinta acea multime si atunci cand vrem sa unim $2$ arbori, il unim pe cel mai mic de cel mai mare.

* _Compresia drumurilor_: Atunci cand facem o interogare, dupa ce am aflat in ce multime se afla nodul $x$, mai parcurgem o data drumul de la $x$ la radacina si unim toate nodurile direct de radacina. Astfel data viitoare cand vom avea o interogare pentru vreo unul din acele noduri vom ajunge din prima la radacina. *Atentie*, e posibil ca atunci cand facem compresia drumurilor, inaltimea arborelui se modifica, insa nu actualizam rangul, in cazul in care folosim si prima euristica. In acest caz acel rang va deveni practic o limita superioara a inaltimii arborelui.

* _Compresia drumurilor_: Atunci cand facem o interogare, dupa ce am aflat in ce multime se afla nodul $x$, mai parcurgem o data drumul de la $x$ la radacina si unim toate nodurile direct de radacina. Astfel data viitoare cand vom avea o interogare pentru unul din aceste noduri vom ajunge intr-un singur pas la radacina. Este posibil ca atunci cand facem compresia drumurilor inaltimea arborelui sa se modifice, insa nu actualizam rangul (in cazul in care este folosita si prima euristica). In acest caz, acel rang va deveni practic o limita superioara a inaltimii arborelui.

Aceste $2$ euristici duc complexitatea finala la $O(log*N)$ pentru o operatie de tipul $2$ si $O(1)$ pentru o operatie de tipul $1$. $log*N$ ("log star de $N$"), reprezinta inversa "functiei lui Ackermann":http://en.wikipedia.org/wiki/Ackermann_function si poate fi aproximat cu $O(1)$. "Aici":http://en.wikipedia.org/wiki/Iterated_logarithm se gaseste un tabel cu valorile pe care le ia acesta.
O sursa de 100 de puncte pe aceasta idee se gaseste 'aici':job_detail/226533?action=view-source. De asemenea puteti gasi informatii utile despre acest subiect si pe "Wikipedia":http://en.wikipedia.org/wiki/Disjoint_set_data_structure.

h2. Aplicatii
 
* 'Bile':problema/bile
* 'Mexc':problema/mexc
* 'Curcubeu':problema/curcubeu
* 'Desen':problema/desen
* 'Jstc':problema/jstc
* 'Secvmax':problema/secvmax
* "Walls":http://acm.sgu.ru/problem.php?contest=0&problem=174
 
* "Towers":http://acm.sgu.ru/problem.php?contest=0&problem=263

== include(page="template/taskfooter" task_id="disjoint") ==

3449