Cautarea ta binara e gresita

Cautarea ta binara este gresita

Cautarea binara e probabil primul algoritm studiat de elevii sau studentii la informatica care exemplifica tehnica divide and conquer. Ea rezolva problema gasirii unui element x in un sir sortat A. Ideea de baza e simpla: folosindu-ne de monotonia datelor putem reduce la fiecare pas problema la jumatate. Totusi aproape fiecare concurent olimpiada de informatica are cate o poveste cum a bushit o problema din cauza unei cautari binare. La fel in interviurile de programare marea majoritatea a canditatilor nu reusesc sa scrie o cautare binara care sa mearga corect pe toate cazurile.

Cautarea binara este printre primii algorimi divide and conquer studiati la informatica. Algoritmul rezolva problema gasirii unui element x in un sir sortat A folosind monotonia elementelor pentru a injumatati la fiecare pas spatiul de cautare. Ideea algoritmului e simpla, insa aproape fiecare concurent olimpiada de informatica are cate o poveste cum a pierdut puncte la o problema din cauza implementarii. Majoritatea studentilor de informatica si chiar doctoranzilor, dupa cum ne spune Jon Bentley in Programming Pearls, nu reusesc sa scrie o cautare binara fara probleme.

*Buguri frecvente;*
O implementare poate avea gramada de probleme cum ar fi:
* ciclu infinit

Implementarile pot avea *multe buguri* in zone cum ar fi:
 
* intrare ciclu infinit

* conditii gresite de terminare

* probleme siruri de scurte de lungime 0, 1, 2
* probleme pentru siruri in care x nu exista sau x apare de mai multe ori
* probleme cand x apare in apropiere de inceputul sau finalul sirului

* siruri scurte de lungime 0, 1, 2
* siruri in care x nu exista sau x apare de mai multe ori
* siruri in care x apare in apropiere de inceput sau final
 
*Optimizari premature*
Am vazut tot felul de variante, de exemplu unii testeaza daca a[mid] e egal cu x si scurt circuiteaza cautarea. Aceasta optimizare nu ajuta in cazul general, doar complica codul. Alta varianta e sa reduci mai mult problema folosind hi = mid - 1 sau lo = mid + 1. Optimizarea e mica si adauga un pas logic in plus la care trebuie sa fii atent. Cazurile la una din marginile sirului pot deveni mai dificile sau putem avea probleme de genul hi devine mai mic decat lo.
 
Multe implementari sunt "blindate" ca să evite bug-urile de mai sus. Problema e că lumea le blindează cu cod duplicat si error prone, repetand conditii.
 
*Variante ale problemei*
Exista versiuni diferite cum ar fi gasirea primei sau ultimei aparitii a lui x in sirul sortat, gasirea  predecesorului sau succesorului valorii x in sir.
 
 
*O solutie isteata* folosita de membrii infoarena utilizeaza puterile lui 2.
 
== code(c) |
int binary_search(int[] A, int x) {
  int i, step, N = A.length;
  for (step = 1; step < N; step <<= 1);
  for (i = 0; step; step >>= 1)
    if (i + step < N && A[i + step] <= x)
    i += step;
  if (A[i] == x)
    return i;
  else
    return -1;
}
==

*Cum sa implementezi o cautare binara corecta:*

Aceasta varianta de implementare este eleganta insa mie nu imi place foarte tare. Dezavantajul principal este lizibilitatea codului.

Ideea de baza e ca vom folosi un invariant in bucla cautarii binare, adica o asertiune care e adevarata de fiecare data cand intram in bucla. Pentru cazul nostru acest invariant e ca lo indica spre un element care e mai mic ca x sau spre -1 si hi indica spre un element mai mare sau egal cu x sau in A.length. Pe scurt <tex>A[lo] < x \le A[hi] </tex> (consideram <tex>A[-1] = -\infty</tex> si <tex>A[A.length] = +\infty</tex>)

*Cum implementezi simplu, corect, clar si flexibil o cautare binara*
 
Folosim un *invariant* in bucla cautarii binare, adica o asertiune care e adevarata de fiecare data cand intram in bucla. Pentru cazul nostru acest invariant e ca lo indica spre un element care e mai mic ca x sau spre -1 si hi indica spre un element mai mare sau egal cu x sau spre A.length. Pe scurt <tex>A[lo] < x \le A[hi] </tex> (consideram <tex>A[-1] = -\infty</tex> si <tex>A[A.length] = +\infty</tex>)

Sa vedem cum arata codul:
== code(c) |

int search(int[] A, int x) {

int binary_search(int[] A, int x) {

    int hi = A.length, lo = -1, mid;
    while (hi - lo > 1) {
      mid = (lo + hi) / 2;
      if (A[mid] < x)

        low = mid;

        lo = mid;

       else
         hi = mid;
    }

* linia 2: setam pe hi si lo inafara sirului, astfel invariantul e indeplinit si nu trebuie sa tratam cazuri speciale.
* linia 3: conditia de continuare a buclei e hi - lo > 1. Invariantul ales face ca hi si lo sa fie tot timpul distincte. La fiecare pas distanta intre hi si lo se injumatateste, iar cand hi si lo ajung consecutive ca pozitii in sir putem lua o decizie.
* linia 4: mid va fi tot timpul intre lo si hi.

* linia x: stim ca A[mid] < x si astfel facand atribuirea lo = mid micsoram spatiu de cautare si pastra invariantul
* la linia y stim ca A[mid] >= x si putem face atribuirea hi = mid.
* la linia z vedem daca x e in sir

* linia 6: stim ca A[mid] < x si astfel facand atribuirea lo = mid micsoram spatiu de cautare si pastram invariantul
* la linia 8 stim ca A[mid] >= x si putem face atribuirea hi = mid.
* la linia 10 vedem daca x e in sir

** in caz afirmativ putem sa returnam indexul hi
** un caz negativ e cand ultimul element din sir e mai mic decat x. Atunci avem lo = A.length - 1 si hi = A.length
** celalalt caz negativ e ca hi sa fie undeva in interiorul sirului si sa avem ca A[lo] < x < A[hi]

Folosind un invariant am demonstrat corectitudinea cautarii.
 
*Variante:*
Ideea e foarte flexibila. Acum puteti incerca sa schimbati invariantul pentru a rezolva probleme ca gasirea ultimei aparitii a lui x in sirul sortat, gasirea  predecesorului lui x in sir sau gasirea succesorului. Alt avantaj e ca folosind invarianti pentru cautarea binara, scriind algoritmul ii si demonstrati corectitudinea :).
 
Aceasta abordare e detaliata in cartea Programming Pearls de Jon Bentley.
 
*Optimizari premature*
 
Am vazut tot felul de variante, de exemplu unii testeaza daca a[mid] e egal cu x si scurt circuiteaza cautarea. Aceasta optimizare nu ajuta in cazul general, doar complica codul. Alta varianta e ca poti reduce ceva mai mult problema folosind hi = mid - 1 sau lo = mid + 1. Pentru mie e putin mai greu de verificat invariantul cautarii, avand un pas logic in plus. Pe langa asta cazurile in care ajungem la una din marginile sirului pot deveni mai dificile.
 
O solutie folosita frecvent de membrii infoarena foloseste puterile lui 2. Codul e elegant:
 
== code(c) |
int binary_search(int A, int val) {
  int i, step, N = A.length;
  for (step = 1; step < N; step <<= 1);
  for (i = 0; step; step >>= 1)
    if (i + step < N && A[i + step] <= val)
    i += step;
  return i;
}
==

Am scapat de greselile ce le mentionam mai sus, pentru ca invariantul ne demonstreaza corectitudinea algoritmului nostru.
Ideea e foarte flexibila, putem schimba usor invariantul pentru a aborda variantele problemei mentionate. De exemplu pentru a gasi ultima pozitie din sir mai mica decat x putem folosi invariantul <tex>A[lo] \le x < A[hi]</tex>

Mie nu imi place aceasta varianta. Un dezavantaj e ca un programator are nu stie trucul intelege codul de mai sus mai greu.

Aceasta abordarea este detaliata in cartea Programming Pearls de Jon Bentley pe care v-o recomand.

*Liknbaitul din titlu :)*

*Linkbaitul din titlu :)*
Daca nu v-am convins de afirmatia din titlu, va mai zic ca, in 2006, Joshua Bloch, cel care a scris algoritmul de cautare binara in java.util.Arrays, a 'descoperit un bug':http://googleresearch.blogspot.com/2006/06/extra-extra-read-all-about-it-nearly.html in implementare. Acest bug aparea in majoritatea cautarilor binare sau a sortarilor prin interclasare scrise in ultimii 20 de ani. Lucrand la Google el a ajuns sa sorteze siruri de doua miliarde de numere. La pasul mid = (lo + hi) / 2 s-a depasit Integer.MAX_VALUE care e 2147483647 si codul a declansat o exceptie. Putem rezolva bugul folosind <tex>mid = lo + (hi - lo) / 2</tex> in loc de <tex>mid = (hi + lo) / 2</tex>.

Daca va suparat afirmatia aroganta din titlu, va mai zic ca in 2006, Joshua Bloch, cel care a scris algoritmul de cautare binara in java.util.Arrays a 'descoperit un bug':http://googleresearch.blogspot.com/2006/06/extra-extra-read-all-about-it-nearly.html in implementare. Acest bug care aparea in majoritatea cautarilor binare sau a sortarilor prin interclasare scrise in ultimii 20 de ani. Lucrand la Google el a ajuns sa sorteze siruri de doua miliarde de numere. Astfel pasul mid = (lo + hi) / 2 a ajuns sa depaseasca Integer.MAX_VALUE care e 2147483647. Putem rezolva bugul folosind <tex>mid = lo + (hi - lo) / 2</tex> in loc de <tex>mid = (hi + lo) / 2</tex>.

Stiu ca “You can’t teach an old dog new tricks” dar sper ca v-am convins de utilitatea invariantilor.

In urmatorul articol voi discuta ce probleme pot aparea la cautarea binara pe numere reale sau metoda bisectiei cum mai e numita.

_Despre cautare binara pe numere reale sau metoda bisectiei in episodul urmator :)._

Voi ati avut vreodata probleme cu cautarile binare? Ce varianta folositi?

*Intrebari:* Voi ati avut vreodata probleme cu cautarile binare? Ce varianta folositi?

private

protected

6864